Chủ đề này có 1 trả lời

[VŨ Thanh Tùng]

Chứng minh tồn tại vô số bộ số (m,n) nguyên tố cùng nhau sao cho phương trình
http://dientuvietnam...imetex.cgi?(x m)^3=nx
có 3 nghiệm nguyên phân biệt.

[pnt]

Bài toán này hay đấy:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(x+m)^3=nx (1)
(1) http://dientuvietnam...3 3mx^2 (3m^2-n)x+m^3=0 (2)
YCBT (2) có 3 nghiệm nguyên phân biệt http://dientuvietnam...cgi?x_1,x_2,x_3 và (m,n)=1
Ta sẽ chọn (m,n) sao cho http://dientuvietnam...cgi?x_1,x_2,x_3 đôi một nguyên tố cùng nhau.
Khi đó (m,n)=1. Thật vậy, giả sử tồn tại số nguyên tố p|(m,n)
Theo định lý Viet: http://dientuvietnam...x_1 x_2 x_3=-3m (3), http://dientuvietnam...3 x_3x_1=3m^2-n (4),http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x_1x_2x_3=-m^3 (5)
(5) tồn tại 1 số chia hết cho p (giả sử http://dientuvietnam...mimetex.cgi?x_1)
(4) tồn tại 1 trong 2 số http://dientuvietnam...tex.cgi?x_2,x_3 cũng chia hết cho p (vô lý)
Tóm lại, ta sẽ chọn http://dientuvietnam...cgi?x_1,x_2,x_3 đôi một nguyên tố cùng nhau sao cho: (3) và (5) thỏa.
Chọn
Với mỗi k nguyên dương khác 1 sẽ có một bộ (m,n) thoả đề bài nên có vô số bộ (m,n) như vậy.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pnt: 01-08-2006 - 13:17