Cho hai số thực dương $a, b$. Chứng minh rằng
$\frac{a}{\sqrt{a^2+3b^2}} + \frac{b}{\sqrt{b^2+3a^2}} \geq 1$
$\sum \frac{a}{\sqrt{a^2+3b^2}} \geq 1$
Started By Tan Phuc Nguyen, 04-09-2021 - 13:03
#2
Posted 04-09-2021 - 13:16
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 posts
Đại úy
Bình phương hai vế, ta cần chứng minh:
$\frac{a^2}{a^2+3b^2}+\frac{b^2}{b^2+3a^2}+\frac{2ab}{\sqrt{(a^2+3b^2)(b^2+3a^2)}}\geqslant 1$
Dễ thấy: $\frac{2ab}{\sqrt{(a^2+3b^2)(b^2+3a^2)}}\geqslant \frac{ab}{a^2+b^2}$ nên ta cần chứng minh:
$\frac{a^2}{a^2+3b^2}+\frac{b^2}{b^2+3a^2}+\frac{ab}{a^2+b^2}\geqslant 1$
Bất đẳng thức trên đúng do nó tương đương:
$\frac{ab(a-b)^2(3a^2-2ab+3b^2)}{(a^2+3b^2)(b^2+3a^2)(a^2+b^2)}\geqslant 0$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b$
- Hoang72 and Tan Phuc Nguyen like this
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
#3
Posted 05-09-2021 - 17:21
Tan Phuc Nguyen
-
- Thành viên mới
-
- 16 posts
Binh nhì
Bài này còn có thể giải bằng cách dùng các bất đảng thức cổ điển không bạn?
Edited by Tan Phuc Nguyen, 05-09-2021 - 17:22.
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users
