Cho các đa thức $P(x),Q(x)$ với hệ số thực thoả mãn điều kiện $P(x)=Q(x)+Q(1-x),\forall x\in \mathbb R$. Biết $P(0)=0$ và các hệ số của $P(x)$ đều không âm. Tính $P(P(2013))$.
Cho $P(x)=Q(x)+Q(1-x)$ và $P(0)=0$. Tính $P(P(2013))$.
#1
Đã gửi 04-10-2021 - 10:48
#2
Đã gửi 04-10-2021 - 16:48
Cho các đa thức $P(x),Q(x)$ với hệ số thực thoả mãn điều kiện $P(x)=Q(x)+Q(1-x),\forall x\in \mathbb R$. Biết $P(0)=0$ và các hệ số của $P(x)$ đều không âm. Tính $P(P(2013))$.
Từ giả thiết $P(x)=Q(x)+Q(1-x)$ , ta thay $x$ bởi $1-x$ khi đó $P(1-x)=Q(1-x)+Q(x)$
Suy ra $P(x)=P(1-x)\,\,\,,\,\,\,\forall x\in \mathbb{R}$ (*)
Giả sử $P(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n$ với các hệ số là các số thực không âm.
Từ (*) cho $x=0$ ta có $a_0=P(0)=P(1)=a_0+a_1+...+a_n$ suy ra $a_1+a_2+...+a_n=0 \Rightarrow a_1=0,\,\,a_2=0,\,\,...,\,\,a_n=0$
Suy ra $P(x)=a_0$ mà ta lại có $P(0)=0$ nên $a_0=0$. Vậy $P(x)=0$
Điều này dẫn tới $P(P(2013))=0$
- DOTOANNANG và MiTiBAM thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh