Chủ đề này có 3 trả lời

[bimcaucau]

Cho $x+y+z=3$. Chứng minh rằng:

$4(xy+yz+zx) - 3xyz \leq 9$

thầy em gợi í dùng schur mà e chả biết làm sao T_T

[kietdz]

Đặt $p=x+y+z=3, q=xy+yz+zx, r=xyz$. 

Theo bất đẳng thức Schur bậc 3, ta có: $r\leq\frac{p(4q-p^2)}{9}=\frac{4q-9}{3}$. Đến đây là xong luôn rồi đó :DD

[thanhng2k7]

Đặt $x+y+z=p,xy+yz+zx=q,xyz=r$

Khi đó bất đẳng thức trơ thành $3r+9\geq 4q$

      Xét bất đẳng thức Schur bậc 3 dạng: 

        $4(a^{3}+b^{3}+c^{3})+15abc\geq (a+b+c)^{3}$ 

           $\Leftrightarrow r\geq \frac{p(4q-p^{2})}{9}=\frac{1}{3}(4q-9)$

           $\Leftrightarrow 3r+12\geq 4q-9+12 \Leftrightarrow 3r+9\geq 4q$ 

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhng2k7: 08-11-2021 - 15:33

[thanhng2k7]

*Giải thích thêm:

     $\frac{p(4q-p^{2})}{9}=\frac{1}{3}(4q-9)$

     $\Leftrightarrow 4pq-p^{3}=12q-27$  

       Thay $p=a+b+c=3;q=ab+bc+ca$ ta được 

          $27-12(ab+bc+ca)+12(a+b+c)-27=0$ (luôn đúng )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhng2k7: 08-11-2021 - 15:41