Một số bài đại số
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
Câu 2)ĐK:$x\geq0$
Đặt $a=b+c;b=\sqrt[3]{3+\sqrt{x}};c=\sqrt[3]{3-\sqrt{x}}$
Lập phương 2 vế ta có $a^3=b^3+c^3+3bc(b+c)$.Dễ thấy $b^3+c^3=6;$$bc=\sqrt[3]{9-x}$
Vậy $a^3-3a\sqrt[3]{9-x}-6=0 (1)$.
Vì $a\in Z$ nên phương trình 1 có nghiệm nguyên $a=1;a=-1;a=2;a=-2;a=3;a=-3;a=6;a=-6$
Từ đó thế từng giá trị của $a$ vào $(1)$ rồi tính $x$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhancccp: 18-07-2023 - 10:23
Câu 3. 2) Nhân cả hai vế phương trình với $\sqrt[4]{7}$. Khi đó vế phải của phương trình trở thành $$\sqrt{77-28\sqrt{7}}=\sqrt{77-2.7.\sqrt{28}}=\sqrt{(7-\sqrt{28})^2}=7-\sqrt{28}=\sqrt{7}(\sqrt{7}-2)$$ còn vế trái của phương trình trở thành $$ \sqrt{7}(\sqrt{a}-\sqrt{b})$$ do đó ta có phương trình tương đương $$\sqrt{a}-\sqrt{b}=\sqrt{7}-2.$$
Bình phương hai vế phương trình và biến đổi ta có \begin{equation} a+b-11=2\sqrt{ab}-4\sqrt{7} \end{equation}
Lại bình phương hai vế và biến đổi ta được $$ (a+b-11)^2-(4ab+112)=16\sqrt{7ab}$$
Vế trái là một số hữu tỉ, do đó $7ab=m^2$ với $m$ là số hữu tỉ không âm.
Bây giờ nếu $a+b \neq 11$ khi đó từ phương trình $(1)$ ta suy ra $$ a+b-11=\frac{2m}{\sqrt{7}}-4\sqrt{7}$$ hay $$\frac{2m-28}{a+b-11}=\sqrt{7}$$ phương trình trên có vế trái là số hữu tỉ, còn vế phải là số vô tỉ, do đó không có nghiệm hữu tỉ.
Vậy ta phải có $a+b=11$, dẫn tới $m=14$ hay $ab=28$. Chú ý điều kiện $a>b$, giải ra ta được $a=7, b=4$.
Vậy phương trình ban đầu có nghiệm hữu tỉ duy nhất $(a;b)$ là $(7;4)$.
Vậy $a^3-3a\sqrt[3]{9-x}-6=0 (1)$.
Vì $a\in Z$ nên phương trình 1 có nghiệm nguyên $a=1;a=-1;a=2;a=-2;a=3;a=-3;a=6;a=-6$
Chỗ này mình chưa hiểu.
Bài 2. Đặt $n=\sqrt[3]{3+\sqrt{x}}+\sqrt[3]{3-\sqrt{x}}$ với $n$ là số nguyên. Lập phương hai vế đẳng thức ta được $$n^3=6+3\sqrt[3]{9-x}n$$ với lưu ý $n>0$ đẳng thức này tương đương với $$x=9-\left( \frac{n^3-6}{3n}\right)^3$$ Từ đây điều kiện xác định $x\geq 0$ tương đương với $$n^3-3\sqrt[3]{9}n\leq 6$$
Ta có với $n\geq 3$ thì $$(n^3-3\sqrt[3]{9}n) - (3^3-3\sqrt[3]{9}.3)=(n-3)(n^2+3n+9-3\sqrt[3]{9}) \geq 0$$ suy ra $$n^3-3\sqrt[3]{9}n \geq 3^3-3\sqrt[3]{9}.3 >6$$
Như vậy, ta phải có $0<n<3$. Suy ra $n=1$ hoặc $n=2$.
Ta có $n=1$ khi và chỉ khi $x=\frac{368}{27}$, còn $n=2$ khi và chỉ khi $x=\frac{242}{27}$.
Vậy tất cả các giá trị $x$ thỏa mãn là $\frac{368}{27}$ và $\frac{242}{27}$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 19-07-2023 - 02:15
Bài 2. Đặt $n=\sqrt[3]{3+\sqrt{x}}+\sqrt[3]{3-\sqrt{x}}$ với $n$ là số nguyên. Lập phương hai vế đẳng thức ta được $$n^3=6+3\sqrt[3]{9-x}n$$ với lưu ý $n>0$ đẳng thức này tương đương với $$x=9-\left( \frac{n^3-6}{3n}\right)^3$$ Từ đây điều kiện xác định $x\geq 0$ tương đương với $$n^3-3\sqrt[3]{9}n\leq 6$$
Ta có với $n\geq 3$ thì $$(n^3-3\sqrt[3]{9}n) - (3^3-3\sqrt[3]{9}.3)=(n-3)(n^2+3n+9-3\sqrt[3]{9}) \geq 0$$ suy ra $$n^3-3\sqrt[3]{9}n \geq 3^3-3\sqrt[3]{9}.3 >6$$
Như vậy, ta phải có $0<n<3$. Suy ra $n=1$ hoặc $n=2$.
Ta có $n=1$ khi và chỉ khi $x=\frac{368}{27}$, còn $n=2$ khi và chỉ khi $x=\frac{242}{27}$.
Vậy tất cả các giá trị $x$ thỏa mãn là $\frac{368}{27}$ và $\frac{242}{27}$.
Thưa thầy:đề bài chỉ cho $n$ là một số nguyên nhưng không cho $n>0$ đâu ạ(1),còn chỗ"Từ đây điều kiện xác định..." thì em chưa hiểu lắm,em thử lại các giá trị của $n$(nếu giả sử $3n\sqrt[3]{9-x} $ là số nguyên,thì $n$ có nghiệm nguyên,sau đó thử lại từng giá trị một) thì thấy chỉ $n=1;n=2$ là có $x>0$ thôi còn các giá trị kia thì có $x\in \left \{ \frac{-100}{27};\frac{-1088}{27};\frac{-42632}{27};\frac{-50410}{27} \right \}$ nên loại hết.
Mong thầy giải thích thêm ạ.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhancccp: 19-07-2023 - 09:59
Thưa thầy:đề bài chỉ cho $n$ là một số nguyên nhưng không cho $n>0$ đâu ạ(1),còn chỗ"Từ đây điều kiện xác định..." thì em chưa hiểu lắm,em thử lại các giá trị của $n$(nếu giả sử $3n\sqrt[3]{9-x} $ là số nguyên,thì $n$ có nghiệm nguyên,sau đó thử lại từng giá trị một) thì thấy chỉ $n=1;n=2$ là có $x>0$ thôi còn các giá trị kia thì có $x\in \left \{ \frac{-100}{27};\frac{-1088}{27};\frac{-42632}{27};\frac{-50410}{27} \right \}$ nên loại hết.
Mong thầy giải thích thêm ạ.
Chỗ $n>0$ quan trọng, nhưng bởi nó đơn giản nên mình không chứng minh rõ ra. Cụ thể $n>0$ tương đương với $3+\sqrt{x}>-3+\sqrt{x}$ nói cách khác là $3>-3$, luôn đúng.
Còn chỗ điều kiện xác định $x\geq 0$ tương đương với $n^3-3\sqrt[3]{9}.n\leq 6$ do đã có đủ hai điều điều kiện là đẳng thức $x=9-...$ và $n>0$.
Logic của nó có nghĩa là vì $x\geq 0$ nên ta phải có $n^3-3\sqrt[3]{9}.n\leq 6$. Từ đây mình loại đi các giá trị của $n \geq 3$, bởi với mọi $n\geq 3$ thì $n^3-3\sqrt[3]{9}.n>6 $ như chứng minh ở phần dưới. Điều kiện $x\geq 0$ đã giúp ta giới hạn lại giá trị của $n$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 19-07-2023 - 10:15
Chỗ $n>0$ quan trọng, nhưng bởi nó đơn giản nên mình không chứng minh rõ ra. Cụ thể $n>0$ tương đương với $3+\sqrt{x}>-3+\sqrt{x}$ nói cách khác là $3>-3$, luôn đúng.
Còn chỗ điều kiện xác định $x\geq 0$ tương đương với $n^3-3\sqrt[3]{9}.n\leq 6$ do đã có đủ hai điều điều kiện là đẳng thức $x=9-...$ và $n>0$.
Logic của nó có nghĩa là vì $x\geq 0$ nên ta phải có $n^3-3\sqrt[3]{9}.n\leq 6$. Từ đây mình loại đi các giá trị của $n \geq 3$, bởi với mọi $n\geq 3$ thì $n^3-3\sqrt[3]{9}.n>6 $ như chứng minh ở phần dưới. Điều kiện $x\geq 0$ đã giúp ta giới hạn lại giá trị của $n$.
Vậy làm theo cách của thầy ta sẽ loại đi được các giá trị âm và các giá trị lớn hơn (hoặc =) 3 từ đó bài toán trở nên đơn giản.
Vậy làm theo cách của thầy ta sẽ loại đi được các giá trị âm và các giá trị lớn hơn (hoặc =) 3 từ đó bài toán trở nên đơn giản.
Đúng rồi. Ban đầu mình nghĩ chỉ cần công thức tổng quát $x=9-\left( \frac{n^3-6}{3n} \right)^3$ là đủ nhưng bởi vì $x \geq 0$ nên ta phải có $0<n<3$.
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh