Bài 31: Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$ có đường cao $AH$ và trung tuyến $AM$. $P,Q$ thuộc $BC$ sao cho $PQ//BC$ (Giả sử $AP$ nằm giữa $AB$ và $AQ$). $K,L$ là hình chiếu của $B,C$ lên $AP,AQ$. $(HKM)$ cắt $AP$ tại $N$. Chứng minh rằng $NL$ luôn đi qua một điểm cố định khi $P,Q$ di động
Lời giải.
Gọi $X,Y$ là hình chiếu của $B,C$ lên $AQ,AP$ thì các tứ giác $AXKB, AYLC$ nội tiếp
$\Rightarrow AKX=\angle ABX=\angle ACY=\angle ALY$ nên tứ giác $KXLY$ nội tiếp
Giả sử $E$ là hình chiếu của $M$ lên $AP$ thì $BK//ME//CY$ nên $E$ là trung điểm của $KY$ do đó $M$ thuộc trung trực của $KY$. Tương tự $M$ cũng thuộc trung trực của $LX$ nên $M$ là tâm của $KXLY$
Hay nói cách khác $M$ thuộc trung trực của $KL$
Kết hợp với $HM$ là phân giác $\angle KHL$ suy ra $M$ thuộc $(HKL)$ hay tứ giác $HKML$ nội tiếp
Gọi $NL$ cắt đường thẳng qua $C$ song song với $AB$ tại $R$
Biến đổi góc: $\angle ALR = \angle MLR-\angle MLX= \angle NKM-\angle MXL=180^{\circ}-\angle AKX-\angle XKM-\angle MXL=180^{\circ}-\angle ABX-\angle KXM-\angle MXL=180^{\circ}-\angle ABX-\angle ABK=\angle BAK+\angle BAX=\angle BAC=\angle ACR$ nên tứ giác $ALCR$ nội tiếp
Vậy $R$ là giao điểm của đường thẳng qua $A$ vuông góc với $AB$ và đường thẳng qua $C$ song song với $AB$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 24-03-2022 - 17:36