Cho a, b nguyên và $am^2+bn^2$ chính phương với mọi m, n nguyên dương. Chứng minh ab=0
$am^2+bn^2$ chính phương với mọi m,n. CMR ab=0
#1
Đã gửi 02-01-2022 - 11:40
#2
Đã gửi 02-01-2022 - 17:58
Cho a, b nguyên và $am^2+bn^2$ chính phương với mọi m, n nguyên dương. Chứng minh ab=0
Rõ ràng ta phải có $a,b\geq 0$. Giả sử $a,b>0$.
Cho $m=n=1$ ta có $a+b$ là số chính phương. Cho $m=b,n=a$ ta có $ab$ là một số chính phương.
Giờ, ta chứng minh $d=(a,b)$ cũng là một số chính phương.
Thật vậy, giả sử phản chứng. Khi đó $a,b$ có một ước nguyên tố chung $p$ (nếu không có thì $d=1$, là số chính phương).
Trong hai số $a,b$ phải có một số chia đúng cho một lũy thừa bậc lẻ của $p$. Giả sử là $a$. Khi đó chọn $m=1$ và $n$ là một lũy thừa bậc đủ lớn của $p$ ta có ngay mâu thuẫn.
Như thế, $d$ là một số chính phương. Suy ra cả $a$ và $b$ là số chính phương. Giờ cho $m=b,n=1$ ta có $ab+1$ là số chính phương, mâu thuẫn với sự kiện $ab$ là một số chính phương.
Vậy trong $a,b$ phải có số bằng $0$. Bài toán kết thúc. $\square$
- jupiterhn9x và Hoang72 thích
#3
Đã gửi 02-01-2022 - 18:15
Rõ ràng ta phải có $a,b\geq 0$. Giả sử $a,b>0$.
Cho $m=n=1$ ta có $a+b$ là số chính phương. Cho $m=b,n=a$ ta có $ab$ là một số chính phương.
Giờ, ta chứng minh $d=(a,b)$ cũng là một số chính phương.
Thật vậy, giả sử phản chứng. Khi đó $a,b$ có một ước nguyên tố chung $p$ (nếu không có thì $d=1$, là số chính phương).
Trong hai số $a,b$ phải có một số chia đúng cho một lũy thừa bậc lẻ của $p$. Giả sử là $a$. Khi đó chọn $m=1$ và $n$ là một lũy thừa bậc đủ lớn của $p$ ta có ngay mâu thuẫn.
Như thế, $d$ là một số chính phương. Suy ra cả $a$ và $b$ là số chính phương. Giờ cho $m=b,n=1$ ta có $ab+1$ là số chính phương, mâu thuẫn với sự kiện $ab$ là một số chính phương.
Vậy trong $a,b$ phải có số bằng $0$. Bài toán kết thúc. $\square$
Cảm ơn bạn.
Bạn giúp mình bài BĐT này với
CMR $\sum \frac{a}{b+c}\leq \sum \frac{a^2}{b^2+c^2}$ với mọi a,b,c dương
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi jupiterhn9x: 02-01-2022 - 18:16
#4
Đã gửi 02-01-2022 - 18:28
Cảm ơn bạn.
Bạn giúp mình bài BĐT này với
CMR $\sum \frac{a}{b+c}\leq \sum \frac{a^2}{b^2+c^2}$ với mọi a,b,c dương
Bài toán của bạn hiện đã có sẵn lời giải trên diễn đàn này. Nếu không tự giải được, bạn có thể tự mình tìm nó.
- supermember và jupiterhn9x thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh