Chủ đề này có 4 trả lời

[bimcaucau]

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng:

$\frac{2a+b}{2a+c}+\frac{2b+c}{2b+a}+\frac{2c+a}{2c+b}\geq 3$

[KietLW9]

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: 

$2a^3+2b^3+2c^3+3abc\geqslant 3ab^2+3bc^2+3ca^2$

Tuy nhiên đây là sự kết hợp của hai bất đẳng thức sau:

* $a^3+b^3+c^3+3abc\geqslant a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2$ (Schur)

* $a^3+b^3+c^3+a^2b+b^2c+c^2a\geqslant 2ab^2+2bc^2+2ca^2$ (AM-GM)

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$

[huhuhuhu]

Mình góp 1 cách hơi khác một xíu: 

Giả sử a = max{a, b, c} 

TH1: $2b + 2c \geq a$

bđt tương đương $\sum \frac{2a + 2b - c}{2a + c} \geq 3$

$\Rightarrow \sum \frac{2a + 2b -c}{2a + c} \geq  \frac{(\sum 2a + 2b - c)^2}{\sum (2a +2b - c)(2a + c)} = \frac{9(\sum a)^2}{3\sum a^2 + 6\sum ab} = 3$

TH2: $a > 2b + 2c$

chứng minh được: 

$2b + a < 2a + c$

Do đó: 

$\frac{2a + b}{2a + c} + \frac{2b + c}{2b + a} > 1 + \frac{3b}{2a + c} > 1$

mà $\frac{2c + a}{2c + b} > \frac{2c + (2b + 2c)}{2c + b} = 2$

Cộng 2 bđt ta có: $\sum \frac{2a + b}{2a + c} > 3$

Vậy bđt được chứng minh: 

dấu bằng xảy ra khi $a = b = c$

Lúc đầu mình định đăng cách kia nhma có anh kia đăng r hic nên phải ngồi nghĩ cách khác

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huhuhuhu: 24-01-2022 - 17:01

[bimcaucau]

Mình góp 1 cách hơi khác một xíu: 

Giả sử a = max{a, b, c} 

TH1: $2b + 2c \geq a$

bđt tương đương $\sum \frac{2a + 2b - c}{2a + c} \geq 3$

$\Rightarrow \sum \frac{2a + 2b -c}{2a + c} \geq \sum \frac{(\sum 2a + 2b - c)^2}{\sum (2a +2b - c)(2a + c)} = \frac{9(\sum a)^2}{3\sum a^2 + 6\sum ab} = 3$

TH2: $a > 2b + 2c$

chứng minh được: 

$2b + a < 2a + c$

Do đó: 

$\frac{2a + b}{2a + c} + \frac{2b + c}{2b + a} > 1 + \frac{3b}{2a + c} > 1$

mà $\frac{2c + a}{2c + b} > \frac{2c + (2b + 2c)}{2c + b} = 2$

Cộng 2 bđt ta có: $\sum \frac{2a + b}{2a + c} > 3$

Vậy bđt được chứng minh: 

dấu bằng xảy ra khi $a = b = c$

Lúc đầu mình định đăng cách kia nhma có anh kia đăng r hic nên phải ngồi nghĩ cách khác

bác cho e hỏi tại sao phải xét 3 trường hợp đó ạ?

[huhuhuhu]

bác cho e hỏi tại sao phải xét 3 trường hợp đó ạ?

à đầu tiên cho mình xin lỗi tại mình làm hơi tắt, thì bạn để ý điều kiện của bđt cộng mẫu là mẫu phải là số thực dương thì việc xét TH $2b + 2c \geq a$ để đảm bảo rằng $\frac{(2b + 2c - a)^2}{(2b + 2c -a)(2b + a)}$ có mẫu dương từ đó mới cộng mẫu được, còn TH kia chỉ đơn giản để quét hết những giá trị còn lại của $a$ thôi, chúc bạn học tốt.