Đến nội dung


Chú ý

Hệ thống gửi email của diễn đàn đang gặp vấn đề với một số tài khoản Gmail do chính sách bảo mật tăng cường của Google. Nếu bạn không nhận được email từ diễn đàn, xin hãy tạm thời dùng một địa chỉ email khác ngoài Gmail (trước hết bạn nên kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org" để chắc chắn là email không nhận được).

BQT đang cố gắng khắc phục, mong các bạn thông cảm.


Hình ảnh

Đề thi VMO 2022

vmo vmo2022 hsgqg 2022

  • Please log in to reply
Chưa có bài trả lời

#1 hoangvipmessi97

hoangvipmessi97

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 15 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu

Đã gửi 04-03-2022 - 11:38

Ngày thi thứ nhất (04/03/2022)

Thời gian làm bài: 180 phút

Bài 1 (5,0 điểm)

Cho $a$ là một số thực không âm và dãy số $(u_n)$ được xác định bởi

$$u_1=6, \ u_{n+1}= \dfrac{2n+a}{n}+ \sqrt{\dfrac{n+a}{n}u_n +4}, \ \forall n \geq 1$$.

a) Với $a=0$, chứng minh rằng $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

b) Với mọi $a \geq 0$, chứng minh rằng $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn.

 

Bài 2 (5,0 điểm)

Tìm tất cả các hàm số $f:(0;+ \infty) \rightarrow (0;+ \infty) $ thoả mãn

$$f \left ( \dfrac{f(x)}{x}+y \right )=1+f(y), \ \forall x,y \in (0;+ \infty)$$

 

Bài 3 (5,0 điểm)

Cho tam giác nhọn $ABC$. Các điểm $E,F$ lần lượt thay đổi trên tia đối của các tia $BA,CA$ sao cho $BF=CE \ (E \neq B, \ F \neq C)$. Gọi $M,N$ tương ứng là trung điểm của $BE,CF$ và $D$ là giao điểm của $BF$ với $CE$.

a) Gọi $I,J$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $DBE,DCF$. Chứng minh rằng $MN$ song song với $IJ$.

b) Gọi $K$ là trung điểm của $MN$ và $H$ là trực tâm của tam giác $AEF$. Chứng minh rằng $HK$ luôn đi qua một điểm cố định.

 

Bài 4 (5,0 điểm)

Với mỗi cặp số nguyên dương $(n,m)$ thoả mãn $n<m$, gọi $s(n,m)$ là số các số nguyên dương thuộc đoạn $[n;m]$ và nguyên tố cùng nhau với $m$. Tìm tất cả các số nguyên dương $m \geq 2$ thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau:

i) $\dfrac{s(n,m)}{m-n} \geq \dfrac{s(1,m)}{m}$ với mọi $n=1,2,...,m-1$;

ii) $2022^m+1$ chia hết cho $m^2$.

 

 

Ngày thi thứ hai (05/03/2022)

Thời gian: 180 phút

Bài 5 (6,0 điểm)

Cho $P(x)$ và $Q(x)$ là hai đa thức khác hằng, có hệ số là các số nguyên không âm, trong đó các hệ số của $P(x)$ đều không vượt quá $2021$ và $Q(x)$ có ít nhất một hệ số lớn hơn $2021$. Giả sử $P(2022)=Q(2022)$ và $P(x), Q(x)$ có chung nghiệm hữu tỷ $\dfrac{p}{q} \neq 0$ ($p,q \in \mathbb{Z}$; $p$ và $q$ nguyên tố cùng nhau). Chứng minh rằng $|p|+n|q| \leq Q(n) - P(n)$ với mọi $n=1,2,...,2021$.

 

Bài 6 (7,0 điểm)

Gieo 4 con súc sắc cân đối, đồng chất. Ký hiệu $x_i \ (1 \leq x_i \leq 6)$ là số chấm trên mặt xuất hiện của con súc sắc thứ $i$ $(i=1,2,3,4)$.

a) Tính số các bộ $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ có thể có.

b) Tính xác suất để có một số trong $x_1, \ x_2, \ x_3, \ x_4$ bằng tổng của ba số còn lại.

c) Tính xác suất để có thể chia $x_1, \ x_2, \ x_3, \ x_4$ thành hai nhóm có tổng bằng nhau.

 

Bài 7 (7,0 điểm)

Cho tam giác $ABC$ có $B,C$ cố định trên đường tròn $(O)$ ($BC$ không đi qua tâm $O$) và điểm $A$ thay đổi trên cung lớn $ \stackrel\frown{BC}$  sao cho $AB \neq AC$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ của tam giác $ABC$ tiếp xúc với $BC$ tại $D$. Gọi $I_a$ là tâm đường tròn bàng tiếp góc $\widehat{BAC}$, $L$ là giao điểm của $I_a D$ với $OI$ và $E$ là điểm trên $(I)$ sao cho $DE$ song song với $AI$.

a) Đường thẳng $LE$ cắt đường thẳng $AI$ tại $F$. Chứng minh rằng $AF=AI$.

b) Trên đường tròn $(J)$ ngoại tiếp tam giác $I_a BC$ lấy điểm $M$ sao cho $I_a M$ song song với $AD$, $MD$ cắt lại $(J)$ tại $N$. Chứng minh rằng trung điểm $T$ của $MN$ luôn thuộc một đường tròn cố định.

Hình gửi kèm

  • Untitled4mar22.png
  • 275255261_5335297276504470_668301404547082952_n.jpg

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangvipmessi97: 05-03-2022 - 12:05






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: vmo, vmo2022, hsgqg, 2022

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh