Cho x, y là hai số hữu tỉ không nguyên phân biệt. CMR tồn tại n nguyên dương để $x^n - y^n \notin \mathbb{Z}$
Edited by jupiterhn9x, 14-03-2022 - 23:33.
Cho x, y là hai số hữu tỉ không nguyên phân biệt. CMR tồn tại n nguyên dương để $x^n - y^n \notin \mathbb{Z}$
Edited by jupiterhn9x, 14-03-2022 - 23:33.
Cho x, y là hai số hữu tỉ không nguyên phân biệt. CMR tồn tại n nguyên dương để $x^n - y^n \notin \mathbb{Z}$
Ta sẽ chứng minh: với hai số hữu tỉ $x,y$ thỏa mãn $x^n-y^n\in \mathbb{Z}$ thì $x,y$ đều là số nguyên.
Gọi $c$ là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho $cx$ và $cy$ đều là các số nguyên, khi đó đặt $x=\frac{a}{c},y=\frac{b}{c}$. Điều kiện $x^n-y^n\in \mathbb{Z}$ suy ra
$$c^n\mid a^n-b^n,\quad \forall n\ge 1.$$
Giả sử $c>1$, gọi $p$ là ước nguyên tố của $c$, vì $c\mid a-b$ nên $p\mid a-b$. Ta có thể giả sử $p\nmid a,b$ (để phù hợp với việc chọn $c$). Ta sẽ chứng minh mâu thuẫn khi $p$ lẻ (trường hợp $p=2$ xử lí tương tự), áp dụng bổ đề nâng lũy thừa (LTE) ta có
$$n\le v_p(c^n)\le v_p(a^n-b^n)=v_p(a-b)+v_p(n)$$
Từ dây suy ra
$$p^n\le (x-y)n\implies x-y\ge \frac{p^n}{n}$$
Cho $n\to \infty$ dẫn tới vô lí.
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
0 members, 1 guests, 0 anonymous users