Câu 3a: TT (xem hình vẽ)
Kẻ $\ DE\perp (ABC)$ tại $\ E$
Gọi F, G lần lượt là hình chiếu của E lên DA và DB.
$\ \left\{\begin{matrix}AB\perp AD & \\ AB\perp DE \ & \end{matrix}\right. \Rightarrow AB\perp (ADE)$
Mà $\ EF\subset (ADE) \Rightarrow AB\perp EF$
Lại có $\ AD\perp EF$
$\ \Rightarrow EF\perp (ABD) (1)$
$\ \left\{\begin{matrix} BC\perp DE & \\ BC\perp DB & \end{matrix}\right. \Rightarrow BC\perp (BDE) \Rightarrow BC \perp EG (EG\subset (BDE))$
Mà $\ BD\perp EG \Rightarrow EG\perp (BCD)(2)$
Từ (1) và (2) => Góc giữa $\ (BCD)$ và $\ (ABD)$ là $\ \widehat({EF,EG})=\widehat{FEG}=30^{o}$
Đặt $\ DE=x$
Đ/l hàm cos: $\ BC=2a$
Ta có: $\ \left\{\begin{matrix} EF\perp (DAB) & \\ FG\subset (DAB) & \end{matrix}\right. => EF\perp FG \Rightarrow \Delta EFG$ vuông tại F.
Lại có $\ \widehat{EBC}=90^{o}(BC\perp (BDE))$
$\ \Rightarrow \widehat{ABE}=\widehat{ABC}-\widehat{EBC}=120^{o}-90^{o}=30^{o}$
$\ \Delta ABE$ vuông tại A:
$\ \tan 30^{o}=\frac{EA}{AB}\Rightarrow EA=\frac{a\sqrt{3}}{3}$
$\ EB=\sqrt{EA^2+AB^2}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$
$\ \Delta AED$ vuông tại E có đg cao EF
$\ \frac{1}{EF^2}=\frac{1}{ED^2}+\frac{1}{EA^2}\Rightarrow EF=\frac{a\sqrt{3}{x}}{3\sqrt{(\frac{a\sqrt{3}}{3})^2+x^2}}$
$\ \Delta EBD$ vuông tại E có đg cao EG
$\ \frac{1}{EG^2}=\frac{1}{ED^2}+\frac{1}{EB^2}\Rightarrow EG=\frac{2a\sqrt{3}x}{3\sqrt{(\frac{2a\sqrt{3}}{3})^2+x^2}}$
$\ \Delta EFG$ vuông tại F có $\ \widehat{FEG}=30^o$
$\ \cos 30^o=\frac{EF}{EG} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{\frac{4a^2}{3}+x^2}}{\sqrt{\frac{a^2}{3}+x^2}} \Leftrightarrow ...\Rightarrow x=\frac{a}{\sqrt{6}}$
Vậy $\ V_{ABCD}=\frac{1}{3}.DE.S_{\Delta ABC}=\frac{1}{3}.\frac{a}{\sqrt{6}}.\frac{1}{2}a.2a.\sin 120^o=\frac{a^3}{6\sqrt{2}}$
Edited by Toan0710, 01-09-2022 - 15:11.