Đề chọn đội tuyển chuyên Nguyễn Du (Đăk Lăk) vòng 2 năm học 2022-2023
Bài 1 (4 điểm)
a) Giải phương trình $(x+1)(x^2+1)(x^3+1)=30x^3$
b) Cho a,b,c dương thỏa mãn $\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}=2$. Chứng minh rằng $ab+bc+ca\ge 12$
Bài 2 (4 điểm)
a) Tìm tất cả đa thức $P(x)$ sao cho đa thức $P(a+b)+P(b+c)+P(c+a)-P(a)-P(b)-P(c)$ chia hết cho $a+b+c$.
b) Tìm tất cả hàm $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(f(x)-2y)=6x+f(f(y)+x)$ với mọi $x,y\in \mathbb{R}$
Bài 3 (6 điểm)
a) Tìm tất cả số nguyên tố p sao cho $\frac{2^{p+2}-1}{p}$ cũng là một số nguyên tố
b) Cho số nguyên dương n. CMR với các số nguyên $a_1,a_2,...,a_{2n+1}$ bất kì thì luôn tồn tại một hoán vị $b_1,b_2,...,b_{2n+1}$ của chúng sao cho $(b_1-b_2)(b_3-b_4)...(b_{2n-1}-b_{2n})$ chia hết cho $2^nn!$
c) Kí hiệu $X=\{3,6,...,2022\}$ là tập hợp các số nguyên dương là bội của 3 và không lớn hơn 2022. Kí hiệu $Y=\{5,10,...,2020\}$ là tập hợp các số nguyên dương là bội của 5 và không lớn hơn 2022. Hãy tính giá trị $\sum_{A\subseteq X}\sum_{B\subseteq Y}\left | A\cup B \right |,$ trong đó $|S|$ là kí hiệu số phần tử của tập hợp S.
Bài 4 (6 điểm)
Cho tam giác ABC, H là hình chiếu vuông góc của A trên BC, I là trung điểm AH. Hai điểm P,Q theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của H lên IC,IB
a) Gọi O là tâm (PBC), PQ cắt BC tại T. Chứng minh OH vuông góc với TI
b) Chứng minh AO là phân giác góc BAC
c) Gọi S là giao điểm BP với CQ. Chứng minh (SPQ) và đường tròn đường kính AH tiếp xúc nhau
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chuyenndu: 07-09-2022 - 16:47