Chủ đề này có 2 trả lời

[Khai Hung]

Cho các số tự nhiên x,y sao cho $x^{2}+y^{2}+2xy+x+3y+2$ là một số chính phương. Tính $S=5x-5y+2022$

[ThienDuc1101]

Ta có $x^2+y^2+2xy+x+3y+2=(x+y)^2+x+3y+2$ là số chính phương

Lại có $(x+y+1)^2=(x+y)^2+2(x+y)+1$

- Xét $x\geq y$. Nếu $x=y\Rightarrow S=2022$

Nếu $x>y\Rightarrow x-y-1\geq 0$. Mà $(x+y+1)^2-[(x+y)^2+x+3y+2]=x-y-1\geq 0\Rightarrow (x+y+1)^2\geq (x+y)^2+x+3y+2$

Lại có $(x+y)^2+x+3y+2$ là số chính phương và $(x+y)^2+x+3y+2>(x+y)^2$

Do đó $(x+y+1)^2=(x+y)^2+x+3y+2\Rightarrow x-y=1\Rightarrow S=2027$

- Xét $x<y \Rightarrow x-y-1<0$. Khi đó, ta có $(x+y+1)^2<(x+y)^2+x+3y+2$ và $(x+y+2)^2-[(x+y)^2+x+3y+2]>0$.

Do đó $(x+y+1)^2<[(x+y)^2+x+3y]<(x+y+2)^2$ (vô lí)

Vậy $S\in {2022,2027}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 12-10-2022 - 17:08
LaTeX

[ThienDuc1101]

Ta có $x^2+y^2+2xy+x+3y+2=(x+y)^2+x+3y+2$ là số chính phương

Lại có $(x+y+1)^2=(x+y)^2+2(x+y)+1$

- Xét $x\geq y$. Nếu $x=y\Rightarrow S=2022$

Nếu $x>y\Rightarrow x-y-1\geq 0$. Mà $(x+y+1)^2-[(x+y)^2+x+3y+2]=x-y-1\geq 0\Rightarrow (x+y+1)^2\geq (x+y)^2+x+3y+2$

Lại có $(x+y)^2+x+3y+2$ là số chính phương và $(x+y)^2+x+3y+2>(x+y)^2$

Do đó $(x+y+1)^2=(x+y)^2+x+3y+2\Rightarrow x-y=1\Rightarrow S=2027$

- Xét x<y => x-y-1<0. Khi đó, ta có (x+y+1)^2<(x+y)^2+x+3y+2 và (x+y+2)^2-[(x+y)^2+x+3y+2]>0.

Do đó (x+y+1)^2<[(x+y)^2+x+3y]<(x+y+2)^2 (vô lí)

Vậy $S\in {2022,2027}$

Máy em bị lỗi công thức một chút. Anh thông cảm giúp em với nhá.