Chủ đề này có 2 trả lời

[HuyCubing]

Tìm tất cả các số tự nhiên $a,\,b$ thoả mãn $2^{a!} + b^3 -3$ là một luỹ thừa của $9$.

[ThienDuc1101]

- Xét $a=0$, thay vào, ta có $b^3-1$ là lũy thừa của 9. Đặt $b^3-1=9^n$ (n là số tự nhiên), khi đó, ta có $(b-1)(b^2+b+1)=9^n$. Mà $b^2+b+1\not\equiv 0(mod9)$ nên $b-1=9^n\Rightarrow b=9^n+1$

- Xét $a=1$, tương tự TH trên, ta có $b=9^n+1$

- Xét $a=2$, thay vào, ta có $b^3+1=9^k$ (k là số tự nhiên), khi đó, ta có $(b+1)(b^2-b+1)=9^k$. Mà $b^2-b+1\not\equiv 0(mod9)$ nên $b=9^k-1$

- Xét $a\geq 3\Rightarrow a!\vdots 6$. Khi đó, ta có $2^a!\equiv 1(mod9)$ nên $b^3-3\equiv -1(mod9)\Rightarrow b^3\equiv 2(mod9)$. Mà $b^3$ là số lập phương nên $b^3\equiv 0,1,8(mod9)$ (vô lí)

Vậy...

[HuyCubing]

- Xét $a=0$, thay vào, ta có $b^3-1$ là lũy thừa của 9. Đặt $b^3-1=9^n$ (n là số tự nhiên), khi đó, ta có $(b-1)(b^2+b+1)=9^n$. Mà $b^2+b+1\not\equiv 0(mod9)$ nên $b-1=9^n\Rightarrow b=9^n+1$
- Xét $a=1$, tương tự TH trên, ta có $b=9^n+1$
- Xét $a=2$, thay vào, ta có $b^3+1=9^k$ (k là số tự nhiên), khi đó, ta có $(b+1)(b^2-b+1)=9^k$. Mà $b^2-b+1\not\equiv 0(mod9)$ nên $b=9^k-1$
- Xét $a\geq 3\Rightarrow a!\vdots 6$. Khi đó, ta có $2^a!\equiv 1(mod9)$ nên $b^3-3\equiv -1(mod9)\Rightarrow b^3\equiv 2(mod9)$. Mà $b^3$ là số lập phương nên $b^3\equiv 0,1,8(mod9)$ (vô lí)
Vậy...

Bạn quên xét TH $k=0$ và chỗ suy ra $b-1=9^n$, $b+1= 9^n$ chưa ổn.