Tính hệ số của $x^n$ trong $ \frac {1-\sqrt {1-4x}}{2x}$
#2
Đã gửi 02-04-2023 - 22:46
Bài không khó nhưng hệ số tìm được làm một số quan trọng và xuất hiện trong nhiều bài toán đếm khác nhau.
- Nesbit, hxthanh, chanhquocnghiem và 1 người khác yêu thích
"Wir müssen wissen, wir werden wissen." - David Hilbert
#3
Đã gửi 02-04-2023 - 23:07
Tính hệ số của $x^n$ trong $ \frac {1-\sqrt {1-4x}}{2x}$
Khai triển chuỗi của $\sqrt{1-4x}=(1-4x)^{1/2}$ (hoặc sử dụng công thức Newton) là
$$\sqrt{1-4x}=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k-1}\binom{1/2}{k}(4x)^{k}.$$
Do đó hệ số của $x^{n}$ là $(-1)^{n}\frac{1}{2}\binom{1/2}{n+1}4^{n+1}=(-1)^{n}2^{2n+1}\binom{1/2}{n+1}$. Viết đầy đủ ra thì có lẽ hệ số sẽ có dạng $\pm \dfrac{1.3.5.7\dots}{2.4.6.8\dots}.2^{2n}$.
- Nesbit, hxthanh, chanhquocnghiem và 1 người khác yêu thích
#4
Đã gửi 02-04-2023 - 23:08
Tính hệ số của $x^n$ trong $ \frac {1-\sqrt {1-4x}}{2x}$
Xét hàm $f(x)=1-\sqrt{1-4x}=1-(1-4x)^{\frac{1}{2}}\Rightarrow f(0)=0$.
$f'(x)=2(1-4x)^{-\frac{1}{2}}\Rightarrow f'(0)=2$
$f''(x)=2^2.1.(1-4x)^{-\frac{3}{2}}\Rightarrow f''(0)=2^2.1$
$f'''(x)=2^3.1.3.(1-4x)^{-\frac{5}{2}}\Rightarrow f'''(0)=2^3.1.3$
..........................................................
$f^{(n)}(x)=2^n.1.3.5...(2n-3)(1-4x)^{-\frac{2n-1}{2}}\Rightarrow f^{(n)}(0)=2^n.1.3.5...(2n-3)$
$\Rightarrow \left [ x^n \right ]f(x)=\frac{2^n.1.3.5...(2n-3)}{n!}$
$\Rightarrow \left [ x^n \right ]\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}=\frac{1}{2}\left [ x^{n+1} \right ]f(x)=\frac{2^n.1.3.5...(2n-1)}{(n+1)!}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 02-04-2023 - 23:14
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#5
Đã gửi 02-04-2023 - 23:46
- Nesbit, chanhquocnghiem và DOTOANNANG thích
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
#6
Đã gửi 03-04-2023 - 00:00
$C_n=\frac{1}{n+1}{2n\choose n}$
- Nesbit, chanhquocnghiem và Nobodyv3 thích
#7
Đã gửi 03-04-2023 - 06:37
Tạo dáng cho hoa khôi ấy à. Ừ, để thử xem.
Đầu tiên là "làm đẹp" phần trên :
$\frac{2^n.1.3.5...(2n-1)}{(n+1)!}=\frac{2^n.(2n)!}{(n+1)!.2.4.6...2n}$
Tiếp theo là tút lại phần dưới rồi "giảm béo toàn thân" :
$\frac{2^n.(2n)!}{(n+1)!.2.4.6...2n}=\frac{2^n.(2n)!}{n!(n+1)!.2^n}=\frac{(2n)!}{n!(n+1)!}=$
$=\frac{P_{2n}^n}{(n+1)!}=\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}$
Chưa biết như vậy đã chuẩn chưa, nhưng giống kết quả của thầy Thanh rồi, mừng quá !
Coi như quá trình "làm đẹp" thành công (bố mẹ nhìn hổng ra luôn)
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#8
Đã gửi 03-04-2023 - 07:21
- Căn cứ vào kết quả cuộc mông má tỉ mỉ, Hiệp hội phẫu thuật thẩm mỹ Hoa Kỳ quyết định trao danh hiệu cao quý " Thiên hạ đệ nhất dao kéo" cho bác sĩ phù thủy @chanhquocnghiem
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 03-04-2023 - 07:26
- Nesbit, hxthanh và chanhquocnghiem thích
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
#9
Đã gửi 03-04-2023 - 07:36
@hxthanh: phàm ở đời, cái gì úp úp mở mở, nửa kín nửa hở ...thì hấp dẫn hơn! Đúng không thầy?
- Căn cứ vào kết quả cuộc mông má tỉ mỉ, Hiệp hội phẫu thuật thẩm mỹ Hoa Kỳ quyết định trao danh hiệu cao quý " Thiên hạ đệ nhất dao kéo" cho bác sĩ phù thủy @chanhquocnghiem
Chà chà, mình còn chưa có bằng bác sĩ thẩm mỹ nữa. Nghe "người ta" xúi thì làm đại thôi. May là chưa gây ra hậu quả gì. Cái danh hiệu cao quý đó, mỗ tôi quyết không dám nhận !
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#10
Đã gửi 03-04-2023 - 15:12
Vẫn còn một câu hỏi khá thú vị đấy: Làm sao để ra thẳng luôn được body như hoa khôi mà khỏi phải tút tát gì cả?
Tuy giải đã trao cho người xứng đáng rồi, nhưng mà xử lí được câu này thì cũng có thể ăn được cái giải phụ chứ nhỉ
- perfectstrong, hxthanh và Nobodyv3 thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh