Tìm nghiệm $x^2-5y^2=1$ thoả $y\le 1292$
#1
Đã gửi 01-05-2023 - 19:17
$x^2-5y^2=1$ thoả mãn $y\le 1292$
- truongphat266, Leonguyen và HaiDangPham thích
#2
Đã gửi 01-05-2023 - 19:57
Tìm tất cả nghiệm nguyên không âm $(x,y)$ của phương trình
$x^2-5y^2=1$ thoả mãn $y\le 1292$
Em mong lời giải của em sẽ đúng. Nếu có sai sót mong thầy sửa giúp ạ
Dễ thấy: $(x;y)=(9;4)$ là một nghiệm của phương trình.
Giả sử: $(x_n;y_n)$ là một nghiệm của phương trình.
$\rightarrow x_n^2-5y_n^2=1$
Giả sử phương trình tồn tại một nghiệm khác thỏa mãn tính chất: $\left\{\begin{matrix} x_{n+1}=ax_n+by_n & & \\ y_{n+1}=cx_n+dy_n & & \end{matrix}\right.$
Thay vào ta được: $(a^2-5c^2)x_n^2+(b^2-5d^2)y_n^2+2(ab-5cd)x_ny_n=1$
Đồng nhất thu được: $\left\{\begin{matrix} a=9 & & & \\ b=20 & & & \\ c=4 & & & \\ d=9 & & & \end{matrix}\right.$
Vậy với $(x_n;y_n)$ là nghiệm của phương trình thì $(9x_n+20y_n;4x_n+9y_n)$ cũng là một nghiệm của phương trình
Các bộ nghiệm lần lượt là: $(x;y)=$ {$(9;4);(161;72);(2889;1292)$}
- perfectstrong, hxthanh và Leonguyen thích
#3
Đã gửi 01-05-2023 - 20:33
Bài này còn có một ý khác đó là:
Chứng minh rằng $\left(\frac{\pm L(6m)}2,\frac{\pm F(6m)}2\right)$ với $m\ge 0$
là tất cả các nghiệm của phương trình $x^2-5y^2=1$
Trong đó $L(n)$ là dãy số Lucas còn $F(n)$ là dãy số Fibonacci
- perfectstrong và truongphat266 thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh