Chứng minh phương trình $\left \{ x^2 \right \}+\left \{ y^2 \right \}=\left \{ z^2 \right \}$ có vô số nghiệm trên tập $\mathbb{Q}\setminus \mathbb{Z}$
$\left \{ x^2 \right \}+\left \{ y^2 \right \}=\left \{ z^2 \right \}$ có vô số nghiệm trên tập $\mathbb Q \setminus \mathbb Z$
Started By Sprouts, 01-06-2023 - 09:40
#1
Posted 01-06-2023 - 09:40
#2
Posted 17-11-2023 - 22:12
Chứng minh phương trình $\left \{ x^2 \right \}+\left \{ y^2 \right \}=\left \{ z^2 \right \}$ có vô số nghiệm trên tập $\mathbb{Q}\setminus \mathbb{Z}$
Gọi $a,b,c$ là các số nguyên dương thỏa mãn
\[2a^2<b^2\quad\text{và}\quad 2a^2+b^2=c^2,\tag{$\ast$}\]
khi đó $2\left(\frac{a}{b}\right)^2+1=\left(\frac{c}{b}\right)^2$. Như vậy với $x=y=\frac{a}{b}$ và $z=\frac{c}{b}$ thì phương trình $\{x^2\}+\{y^2\}=\{z^2\}$ có nghiệm trên $\mathbb{Q}\setminus \mathbb{Z}$.
Phần còn lại là chứng minh có vô số nghiệm, ta sẽ thực hiện điều đó bằng cách chứng tỏ rằng có vô hạn bộ ba số $a,b,c$ đôi một nguyên tố cùng nhau thỏa mãn $(\ast)$. Để ý đẳng thức
\[2(2mn)^2+(2m^2-n^2)^2=(2m^2+n^2)^2.\]
Từ đây ta chọn $a=2mn,b=2m^2-n^2$ và $c=2m^2+n^2$ với $m,n$ là hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau thỏa mãn $n<\frac{m}{2}$ và $n$ lẻ.
Ghi chú. Một bài toán khá tương tự như sau: Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n\ge 2$ thì luôn tồn tại các số $x_1,x_2,\dots,x_n,x_{n+1}\in \mathbb{Q}\setminus \mathbb{Z}$ thỏa mãn
\[\left \{ x_1^3 \right \}+\left \{ x_2^3 \right \}+\dots+\left \{ x_n^3 \right \}=\left \{ x_{n+1}^3 \right \}.\]
Edited by nhungvienkimcuong, 18-11-2023 - 00:07.
- perfectstrong likes this
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users