Trong chủ đề này mình xin tổng hợp các bài dãy số trong đề thi chọn hsg lớp 12, tp Hà Nội những năm gần đây. Mời mọi người tham gia giải ạ.
Câu 1 (năm 2018).
Cho dãy số $(a_{n})$ xác định bởi
$\begin{cases} a_{1} =\frac{1}{2} &\\ a_{n+1} = \frac{a_n^2}{a_n^2-a_n+1},&\forall n \in \mathbb{N}^{*} \end{cases}$
a) Chứng minh $(a_n)$ là dãy số giảm.
b) Với mỗi số nguyên dương $n$, đặt $b_{n} = \sum_{i=1}^{n} a_i$.
Tìm $\lim_{n\rightarrow+\infty} b_n$.
Câu 2 (năm 2019).
Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi
$\begin{cases} u_{1} =\frac{\sqrt{3}}{3} &\\ u_{n+1} = \frac{\sqrt{u_n^2+1}-1}{u_n},&\forall n \in \mathbb{N}^{*} \end{cases}$
a) Chứng minh $(u_n)$ là dãy số bị chặn.
b) Chứng minh $\sum_{i=1}^{2019} \frac{1}{u_i} < 2^{2020}$.
Câu 3 (năm 2020).
Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi
$\begin{cases} u_{1} = 6 &\\ u_{n+1} = \frac{1}{2}(u_n^2-4u_n+9),&\forall n \in \mathbb{N}^{*} \end{cases}$
a) Chứng minh $(u_n)$ là dãy số tăng.
b) Chứng minh $\sum_{i=1}^{2020} \frac{1}{u_i-1} < \frac{1}{3}$.
Câu 4 (năm 2021).
Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi
$\begin{cases} u_{1} = 3&\\ u_{n+1} = \frac{3u_n+1}{u_n+3},&\forall n \in \mathbb{N}^{*} \end{cases}$
a) Chứng minh $(u_n)$ là dãy số giảm.
b) Tính tổng: $S=\sum_{i=1}^{100} \frac{1}{u_i-1}$.
Câu 5 (năm 2022).
Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi
$\begin{cases} u_{1} = 3 &\\ u_{n+1} = u_n^3-2u_n^2+2u_n,&\forall n \in \mathbb{N}^{*} \end{cases}$
a) Chứng minh $(u_n)$ là dãy số tăng.
b) Chứng minh $\sum_{i=1}^{2022} \frac{u_i}{u_i^2-u_i+1} <1$.