Số tam giác :$$\begin {align*}
f(x)&=\frac {x^3}{(1-x^2)(1-x^3)(1-x^4)}\\
\Rightarrow [x^{2019}]f(x)&=\boldsymbol {85177}
\end {align*}$$
Trả lời câu hỏi " Rút hệ số bằng tay ( không sử dụng máy tính) được không? " mình xin khẳng định là "Được! Cụ thể bài này, ta có thể tính toán mà không cần nhờ đến Wolfram Alpha hoặc một hệ thống CAS nào khác, thí dụ như Mathematica, Sage,...chẳng hạn. " và mình đã thực hiện như sau :
$$\begin {align*}[x^{2019}]f(x)&=[x^{2016}]\frac{1}{(1-x^2)(1-x^3)(1-x^4)}\\
&=[x^{2016}] \frac{A}{(1-x^{12})^3}\\
&=[x^{2016}]A\sum_{k\geq 0}\binom{k+2}{2}x^{12k}
\end {align*}$$ trong đó $$A=\left ( 1+x^2+...+x^{10} \right )\left ( 1+x^3+...+x^9 \right )\left ( 1+x^4+x^8 \right )$$ Để ý là $$2016=168\cdot12+0=167\cdot12+12=166\cdot12+24$$ nên ta tính hệ số của $x^0,x^{12},x^{24}$ trong $A$ và dễ dàng tìm được $1x^0,4x^{12},1x^{24}$. Do đó :$$\begin {align*}
\Longrightarrow &\;[x^{2016}]\left ( x^0+4x^{12}+x^{24} \right )\sum_{k\geq 0}\binom{k+2}{2}x^{12k}\\
&=\left ( [x^{2016}]+4[x^{2004}]+[x^{1992}] \right )\sum_{k\geq 0}\binom{k+2}{2}x^{12k}\\
&=\binom{168+2}{2}+4\binom{167+2}{2}+\binom{166+2}{2}\\
&=14365+4\cdot14196+14028\\
&=\boldsymbol {85177}
\end {align*}$$Bạn có thể dùng một trong các hệ thống CAS trên để làm sanity check kết quả này.
C'est tout!.That's it !.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 29-06-2023 - 07:52