Tìm các cặp số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn
$125.2^{x}=271+3^{y}$
Giải :
Dễ thấy $x\geq 3$
Với $x=3 \Rightarrow y=6$
Với $x> 3 \Rightarrow y> 6$
$125.2^{x}\vdots 1000 \Rightarrow 3^{y}\equiv 729 (\mod 1000) \Rightarrow y=6n (n> 1)$
$3^{y}+271\equiv 0 (\mod 16) \Rightarrow 3^{y}\equiv 1 (\mod 16) \Rightarrow y=4m (m>1)$
$\Rightarrow y=12l (l> 0)$
$\Rightarrow 3^{y}+271=3^{12l}+271= \left ( 3^{6l} \right )^{2}+271 \equiv 1+271 \left ( \mod 5 \right )$
Mà $VT\equiv 0 (\mod 5)$ $\Rightarrow$ mâu thuẫn
Vậy $x=3,y=6$
