Chủ đề này có 2 trả lời

[yaWeee]

1. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x,y) thỏa mãn $4x^{2} + 9y + 3$ và $4y^{2} + 9x + 3$ là số chính phương

2. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (m,n) thỏa mãn $m^{6}+ 5n^{2} = m + n^{3}$ là số chính phương

[chaubee2001]

1. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x,y) thỏa mãn $4x^{2} + 9y + 3$ và $4y^{2} + 9x + 3$ là số chính phương.

Không mất tính tổng quát, giả sử $x \geq y$.

Khi đó, ta có: $(2x)^2 <4x^2+9y+3 \leq 4x^2 + 9x +3 < 4x^2 +12x+ 9 = (2x+3)^2$

$\Rightarrow 4x^2 + 9y +3 = (2x+1)^2$ hoặc $4x^2 + 9y +3 = (2x+2)^2$.

TH1: $4x^2 + 9y +3 = (2x+1)^2 \Leftrightarrow 9y = 4x - 2 $

Từ đây suy ra được $y\vdots 2 \Rightarrow 4x^2+9y \vdots 2$

$\Rightarrow 4x^2+9y+3$ chia 4 dư 3. (vô lí)

TH2: $4x^2 + 9y +3 = (2x+2)^2 \Leftrightarrow 9y = 8x + 1$

Suy ra $x = 9k+1, y = 8k+1, k\in \mathbb{N}$.

Khi đó, $4y^2 + 9x +3 = 4\left ( 8k+1 \right )^2 + 9\left ( 9k+1 \right ) + 3= 256k^2 +145k +16$

Mặt khác:

$(16k+4)^2 \leq256k^2 +145k +16 = (16k+4)^2 + 17k < (16k+5)^2$

$\Rightarrow k=0$, vậy $x=y=1$.

 

Bạn kiểm tra đề câu 2 giúp mình nhé.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chaubee2001: 24-07-2023 - 15:53

[yaWeee]

Không mất tính tổng quát, giả sử $x \geq y$.

Khi đó, ta có: $(2x)^2 <4x^2+9y+3 \leq 4x^2 + 9x +3 < 4x^2 +12x+ 9 = (2x+3)^2$

$\Rightarrow 4x^2 + 9y +3 = (2x+1)^2$ hoặc $4x^2 + 9y +3 = (2x+2)^2$.

TH1: $4x^2 + 9y +3 = (2x+1)^2 \Leftrightarrow 9y = 4x - 2 $

Từ đây suy ra được $y\vdots 2 \Rightarrow 4x^2+9y \vdots 2$

$\Rightarrow 4x^2+9y+3$ chia 4 dư 3. (vô lí)

TH2: $4x^2 + 9y +3 = (2x+2)^2 \Leftrightarrow 9y = 8x + 1$

Suy ra $x = 9k+1, y = 8k+1, k\in \mathbb{N}$.

Khi đó, $4y^2 + 9x +3 = 4\left ( 8k+1 \right )^2 + 9\left ( 9k+1 \right ) + 3= 256k^2 +145k +16$

Mặt khác:

$(16k+4)^2 \leq256k^2 +145k +16 = (16k+4)^2 + 17k < (16k+5)^2$

$\Rightarrow k=0$, vậy $x=y=1$.

 

Bạn kiểm tra đề câu 2 giúp mình 

 

mình cảm ơn b.

Câu 2 mình trích đúng từ đề nên mình cùng chưa biết nữa, Đề câu ấy có vấn đề gì thế nhỉ?