Chủ đề này có 1 trả lời

[98dfgfdubvh]

Cho $a,b$ là các số thực dương sao cho $a^3+b^3=a-b.$ CMR: $a^2 +4b^2<1$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 12-08-2023 - 11:34
Sửa lỗi LaTex.

[truongphat266]

Lời giải

Cho $a,b$ là các số thực dương sao cho $a^3+b^3=a-b.$ CMR: $a^2 +4b^2<1$.

 

 

 

Có: $\frac{a^3+b^3}{a-b}=1$

Vậy tự nhiên nghĩ ngay cần chứng minh: $\frac{a^3+b^3}{a-b}> a^2+4b^2$

Nhưng điều này lại tương đương: $(a-2b)^2 +b^2 \ge 0$ (Đúng)

 

Đây là đề CGMO 2005!

 

Những bài mạnh hơn:

 

Gốc: Điều kiện như trên, chứng minh: $x^2 +y^2 <1$ (Dễ)

Chặt: Điều kiện như trên, chứng minh: $4a^2 - 5b^2 < 5$

Dấu bằng xảy ra: Điều kiện như trên, chứng minh: $a^2 + 2(\sqrt{2}+1)b^2 \leq 1$

 

Nâng bậc: Cho $a,b \geq 0$ và $a^5+b^5=a-b$. Chứng minh: $a^4+b^4<a^4+2b^4<1$

Điều kiện như trên, tìm $k$ lớn nhất sao cho bất đẳng thức sau đúng: $a^4 +kb^4 \leq 1$ (Tìm dấu bằng nữa)

Điều kiện như trên, chứng minh với $k=12$

Điều kiện như bài gốc, chứng minh: $(1+3ab)^3 \geq 27b^2$

Điều kiện như bài gốc, chứng minh: $(a+b)^2 \leq  (1-ab)(1+2ab+2a^2b^2)$

Điều kiện như bài gốc, chứng minh: $a^2 + 4b^2(1+b^2)^2 \leq 1$

 

__Những bài này chỉ cần biến đổi tương đương 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi truongphat266: 12-08-2023 - 13:31