Chủ đề này có 1 trả lời

[William Nguyen]

Cho ba số thực dương $a, b, c: a(b^2+c^2)=2(b+c)$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{8}{(a+2)^2}+\frac{1}{(b+1)^2}+\frac{1}{(c+1)^2}+\frac{8}{(a+2)(b+1)(c+1)}.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi William Nguyen: 17-08-2023 - 23:21

[William Nguyen]

+, có $4(b+c)=2a(b^2+c^2)\geq a(b+c)^2 \Rightarrow a(b+c)\leq 4$

$\Rightarrow (a+2)(b+c)\leq 2(b+c+2) \Rightarrow \frac{1}{a+2}\geq \frac{b+c}{2(b+c+2)}=\frac{1}{2}-\frac{1}{b+c+2}$

dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \begin{cases} b=c>0\\a(b^2+c^2)=2(b+c)\end{cases} \Leftrightarrow b=c=\frac{2}{a}>0$.

+, $\frac{1}{(b+1)^2}+\frac{1}{(c+1)^2}\geq \frac{1}{2}.\left(\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\right)^2\geq \frac{8}{(b+c+2)^2}$

dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow b=c>0$.

+, $0<4(b+1)(c+1)\leq (b+c+2)^2 \Rightarrow \frac{1}{(b+1)(c+1)}\geq \frac{4}{(b+c+2)^2}$

dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow b=c>0$.

+, Từ 3 điều trên suy ra

$P \geq 8.\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{b+c+2}\right)^2 + \frac{8}{(b+c+2)^2} + \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{b+c+2}\right).\frac{32}{(b+c+2)^2}$

     $= f(t) = 2(1-t)^2+2t^2+4(1-t).t^2 = -4t^3+8t^2-4t+2$, với $t = \frac{2}{b+c+2}$

dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow b=c=\frac{2}{a}>0$.

   Do $b, c >0$ nên $0<t<1$

   Xét hàm số $y=f(t)=-4t^3+8t^2-4t+2, t \in (0, 1)$

có được $f(t)\geq \frac{38}{27}, \forall t \in (0, 1)$, dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow t = \frac{1}{3}$

+, Vậy $min P = \frac{38}{27}$ tại $b=c=2, a=1$