Chủ đề này có 2 trả lời

[thvn]

Giải phương trình vô tỉ sau:

$\sqrt{x^{2}-3\sqrt{2}x+9}+\sqrt{x^{2}-4\sqrt{2}x+16} = 5$

[HaiDangPham]

Phương trình có nghiệm duy nhất $x=\frac{12\sqrt{2}}{7}$. 

 

Bắt đầu với dự đoán: vế trái $S$ của phương trình thỏa mãn $S \geq 5$ với mọi $x$. Thử một vài giá trị thấy đúng. Tuy vậy, chỉ cần biến đổi tương đương ta cũng có được kết quả cần tìm. 

 

Cụ thể, đổi biến $x=\sqrt{2}y$, phương trình đã cho trở thành $$\sqrt{2y^2-6y+9}+\sqrt{2y^2-8y+16}=5$$ sau đó bình phương hai vế và rút gọn ta được $$\sqrt{(2y^2-6y+9)(2y^2-8y+16)}=y(7-2y).$$

Với điều kiện $0\leq y \leq \frac{7}{2}$ tiếp tục bình phương hai vế phương trình trên và biến đổi tương đương ta được $$(7y-12)^2=0,$$ vì vậy $y=\frac{12}{7}$. 

 

Chắc sẽ có cách để chứng minh bất đẳng thức. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 18-08-2023 - 23:19

[truongphat266]

Giải phương trình vô tỉ sau:

$\sqrt{x^{2}-3\sqrt{2}x+9}+\sqrt{x^{2}-4\sqrt{2}x+16} = 5$

 

Đặt: $\sqrt{2}x=t$ phương trình đã cho viết lại:

$$\sqrt{(t-3)^2+3^2}+\sqrt{(4-t)^2+4^2}=5\sqrt{2}$$

 

Sử dụng bất đẳng thức Minkowski thì dấu bằng xảy ra, ra nghiệm.