Chủ đề này có 3 trả lời

[98dfgfdubvh]

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c =3$. Chứng minh rằng $(abc)^2(a^2+b^2+c^2) \leq 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 29-08-2023 - 10:42
Sai đề.

[truongphat266]

Sửa đề lại nhé!

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c =3$. Chứng minh rằng $(abc)^2(a^2+b^2+c^2) \leq 3$

 

Có: $$(abc)^2(a^2+b^2+c^2)=(abc)^2[9-2(ab+bc+ca)] \leq (abc)^2[9-6(abc)^{\frac{2}{3}}]$$

Theo giả thiết thì có: $$abc \leq \frac{(a+b+c)^3}{27}=1$$

Đặt $(abc)^{\frac{2}{3}}=u$ $(u \in (0;1])$ thì ta cần chỉ ra: $$ u^3(9-6u) \leq 3 \Leftrightarrow (u-1)[3u(1-u)(2u+1)+3] \leq 0$$ 

Dẫn đến có điều phải chứng minh.

 

Tổng quát: Cho $a,b,c,k>0$ thỏa $a^k+b^k+c^k=3$

Tìm mọi $k$ sao cho bất đẳng thức sau đúng: $$(abc)^2[a^{k+1}+b^{k+1}+c^{k+1}] \leq 3$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi truongphat266: 25-08-2023 - 21:02

[supermember]

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho 4 số:

 

$ 27 (abc)^2 (a^2+b^2+c^2) = (3ab) \cdot (3bc) \cdot (3ca) \cdot (a^2 + b^2 + c^2) \leq \left( \frac{3ab+3bc+3ca + a^2 + b^2 + c^2}{4} \right)^4 $

 

$= \left( \frac{ab+bc+ca + (a + b + c)^2}{4} \right)^4  \leq   \left( \frac{ \frac{(a + b + c)^2}{3} + (a + b + c)^2}{4} \right)^4  =   \left( \frac{(a + b + c)^2}{3} \right)^4 = 3^4 \implies  (abc)^2 (a^2+b^2+c^2) \leq 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 26-08-2023 - 17:00

[HaiDangPham]

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c =3$. Chứng minh rằng $(abc)^2(a^2+b^2+c^2) \leq 3$

 

Vì $a+b+c=3$, điều phải chứng minh tương đương với $$3^7(abc)^2(a^2+b^2+c^2)\leq (a+b+c)^8.$$ Đặt $S=(a+b+c)^8$ và $T=3^7(abc)^2(a^2+b^2+c^2)$. Đặt thêm các ẩn phụ $a^2+b^2+c^2=x, ab+bc+ac=y, abc=z$.

Ta có $$S=(a+b+c)^8=(x+2y)^4=x^4+8x^3y+24x^2y^2+32xy^3+16y^4.$$ Nhận xét rằng $x \geq y$ nên $$x^4 \geq xy^3, x^3y \geq xy^3, x^2y^2\geq xy^3$$ hơn nữa bởi $$x^2y^2+y^4 \geq 2xy^3$$ ta suy ra  $$S=(x^4+8x^3y+8x^2y^2+32xy^3)+16(x^2y^2+y^4) \geq 49xy^3+32xy^3=81xy^3.$$

Ta lại có $(ab+bc+ca)^3 \geq 27 (abc)^2$ hay $y^3 \geq 27 z^2$, điều này dẫn tới $$xy^3 \geq 27 xz^2.$$ Vì vậy $$ S \geq 81xy^3 \geq 81.27xz^2=3^7 xz^2=T$$ Đây là điều cần phải chứng minh. $\square$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 30-08-2023 - 01:12