Chủ đề này có 1 trả lời

[HaiDangPham]

Bài toán. Cho số nguyên tố $p$ bất kì. Chứng minh rằng $p^{p+1}+(p+1)^p$ không phải là số chính phương. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 27-08-2023 - 08:57

[huytran08]

Xét $p=2$ thấy đúng
Xét $p>2$ suy ra $p$ lẻ nên $p+1=2k$ nên ta giả sử $p^{p+1}+(p+1)^p=x^2(x \in \mathbb{N^*}) \Rightarrow (p+1)^p=(x-p^k)(x+p^k)$ suy ra $x$ lẻ
Ta thấy $gcd(x-p^k,x+p^k)=gcd(x-p^k,2p^k)=2$ (do $x,p$ lẻ và $(x,p)=1$)
Như vậy đặt $p+1=2^x.y$ với $y$ lẻ thì $(p+1)^p=2^{xp}.y^p=(x-p^k)(x+p^k)$ và $p+1=2k=2^x.y \Rightarrow k=2^{x-1}.y$
Do đó $2^{xp-1}||x-p^k,2||x+p^k$ hoặc $2^{xp-1}||x+p^k,2||x-p^k$
TH1: $2^{xp-1}||x-p^k,2||x+p^k$ khi ấy $y^p=\left(\dfrac{x-p^k}{2^{xp-1}}\right).\left(\dfrac{x+p^k}{2}\right)$ lúc này $gcd\left(\dfrac{x-p^k}{2^{xp-1}},\dfrac{x+p^k}{2}\right)=1$
Do đó $\dfrac{x-p^k}{2^{xp-1}}=m^p,\dfrac{x+p^k}{2}=n^p$ với $mn=y$
Ta suy ra ngay $2n^p-2^{xp-1}.m^p=2p^k \Rightarrow n^p-2^{xp-2}.m^p=p^k$ mà $k=\dfrac{p+1}{2}>1$ (do $p>2$) nên $p^k \vdots p$
Suy ra $n^p-2^{xp-2}.m^p \vdots p \Rightarrow 4n^p-2^{xp}.m^p \vdots p$
Lại có $mn=y=\dfrac{p+1}{2^x}$ nên $gcd(m,p)=gcd(n,p)=1$ theo định lý Fermat nhỏ suy ra $4n^p \equiv 4n \pmod{p}$ và $m^p \equiv m \pmod{p}$
Do đó $4n-2^{xp}.m \vdots p$ $(1)$
Mặt khác $p+1=2^x.y=2^x.m.n=(2^x.m).n \equiv 4n^2 \pmod{p}$ (theo $(1)$) suy ra $4n^2-(p+1) \vdots p \Rightarrow (2n-1)(2n+1) \vdots p$ nên $2n-1 \vdots p$ hoặc $2n+1 \vdots p$ mà $p+1=2^x.y.m.n$ với $x\geq 1$ nên $n<p$ suy ra $2n-1<2p$ và $n<p$ suy ra $n\le p-1$ $\Rightarrow$ $2n+1<2p$.Do đó $2n-1,2n+1 \vdots p$ khi và chỉ khi hoặc $2n-1=p,2n+1=p$ nếu $2n+1=p \Rightarrow 2n=p-1$ thì $p+1 \vdots n \Rightarrow 2p+2 \vdots 2n \Rightarrow 2p+2 \vdots p-1$ dễ tính ra $p=5$ thử lại thấy loại còn nếu $2n-1=p$ nên $n=\dfrac{p+1}{2}$ suy ra $2^x.m=2 \Rightarrow m=1,x=1$

Thay vào phương trình trên thu được $n^p-2^{p-2}=p^n$ thay $n=\dfrac{p+1}{2}$ và quy đồng ta có
$(p+1)^p-2^{2p-2}=p^{\frac{p+1}{2}}.2^p$
$p^p+\binom{p}{1}.p^{p-1}+\binom{p}{2}.p^{p-2}+...+\binom{p}{p-1}p+1=2^{2p-2}+p^{\frac{p+1}{2}}.2^p$
Ta thấy $p^p=p^{\frac{p+1}{2}}.p^{\frac{p-1}{2}}$ với $p=3,5,7$ thấy loại còn $p>7$ hay $p\geq 11$ thì $p>2^3$ nên $p^{\frac{p+1}{2}}.p^{\frac{p-1}{2}}>p^{\frac{p+1}{2}}.2^{3.\frac{p-1}{2}}>p^{\frac{p+1}{2}}.2^p$ (do $3.\frac{p-1}{2}>p$)
Còn $\binom{p}{1}.p^{p-1}=p^p>(2^3)^p=2^{3p}>2^{2p-2}$
Như vậy $VT>VP$ nên loại do đó $p^{p+1}+(p+1)^p$ không là số chính phương (đpcm)
TH2: $2^{xp-1}||x+p^k,2||x-p^k$ nên $y^p=\left(\dfrac{x+p^k}{2^{xp-1}}\right).\left(\dfrac{x-p^k}{2}\right)$ lúc này $gcd\left(\dfrac{x+p^k}{2^{xp-1}},\dfrac{x-p^k}{2}\right)=1$
Suy ra $\dfrac{x+p^k}{2^{xp-1}}=m^p,\dfrac{x-p^k}{2}=n^p$ với $mn=y$
Như vậy $2^{xp-1}.m^p-2n^p=2p^k \Rightarrow 2^{xp-2}.m^p-n^p=p^k$ cm tương tự trên ta cũng có $2^xm-4n \vdots p$ nên $2^x.m \equiv 4n \pmod{p}$
Tương tự thay vào $p+1=2^x.m.n \equiv 4n^2 \pmod{p} \Rightarrow 4n^2-1 \vdots p \Rightarrow (2n-1)(2n+1) \vdots p$ tương tự trên $2n+1=p$ thì $p+1 \vdots n \Rightarrow 2p+2 \vdots 2n=p-1 \Rightarrow 2p+2 \vdots p-1 \Rightarrow p=5$ thay vào loại còn $2n-1=p$ thì $n=\dfrac{p+1}{2}$ nên $2^x.m=2 \Rightarrow m=x=1$
Thay vào phương trình $2^{xp-2}.m^p-n^p=p^k \Rightarrow 2^{p-2}-n^p=p^k$ hay $2^{p-2}>n^p$ nên $2>n$ nên $2>\dfrac{p+1}{2}$ nên $p<3$ vô lí
Do đó điều giả sử là sai,bài toán được chứng minh.