1 reply to this topic

[IRUMASAMMA]

Với mọi số thực không âm x,y,z thoả mãn $x^2 + y^2 +z^2 = 2$

Chứng minh rằng $x + y + z \le 2 + xy$

Edited by perfectstrong, 03-10-2023 - 23:40.
Tiêu đề & LaTeX

[Duc3290]

Với mọi số thực không âm x,y,z thoả mãn $x^2 + y^2 +z^2 = 2$

Chứng minh rằng $x + y + z \le 2 + xy$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhia:

$$ x(1-yz)+(y+z)\leq \sqrt{(x^2+(y+z)^2)((1-yz)^2+1)}=\sqrt{(2+2yz)((yz)^2-2yz+2)}$$

Ta chứng minh: $ (2+2yz)((yz)^2-2yz+2) \leq 4 \leftrightarrow (yz)^2(yz-1)\leq0$, luôn đúng do $yz\leq \frac{y^2+z^2}{2}\leq1$

Từ đó ta có đpcm

(Có vẻ bài toán đúng với cả x,y,z thực)