Chủ đề này có 1 trả lời

[Princess3107]

Cho $a,b,c>0$ thoả $a+b+c=\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$. Chứng minh rằng nếu $a \le b \le c$ thì $ab^2c^3 \ge 1$

[nhungvienkimcuong]

Cho $a,b,c>0$ thoả $a+b+c=\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$. Chứng minh rằng nếu $a \le b \le c$ thì $ab^2c^3 \ge 1$

Để bỏ đi điều kiện đẳng thức của giả thiết ta đưa về bất đẳng thức thuần nhất, nghĩa là chứng minh

\[ab^2c^3\ge \left(\frac{abc(a+b+c)}{ab+bc+ca} \right )^3\iff (ab+bc+ca)^3\ge a^2b(a+b+c)^3.\]

Theo bất đẳng thức Cô-si thì $a^2b\le \left(\frac{2a+b}{3}\right)^3$, do đó ta chỉ cần chứng minh $ab+bc+ca\ge \frac{2a+b}{3}\cdot(a+b+c)$. Bất đẳng thức cuối luôn đúng vì

\begin{align*}3(ab+bc+ca)-(2a+b)(a+b+c)&=c(2b+a)-b^2-2a^2\\ &\ge b(2b+a)-b^2-2a^2=(b-a)(b+2a)\ge 0.\end{align*}

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 09-10-2023 - 11:34