Chủ đề này có 2 trả lời

[nguyenlvtNo1]

Cho ba số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $a^2 + b^2 + c^2 = 2(ab+bc+ac)$. Chứng minh rằng: $a+b+c \ge 3 \sqrt[3]{2abc}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 25-11-2023 - 20:15
Tiêu đề & LaTeX

[nguyenhuybao06]

Từ giả thiết ta có $$(a+b-c)^2=4ab\Leftrightarrow a+b-c=2\sqrt{ab}\Leftrightarrow a+b=c+2\sqrt{ab}$$

Ta chứng minh $$2c+2\sqrt{ab}\geq3\sqrt[3]{2abc}$$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có $$2c+2\sqrt{ab}=2c+\sqrt{ab}+\sqrt{ab}\geq3\sqrt[3]{2abc}$$

Bài này trong 1 kỳ Olympic hay TST gì đó ở nước ngoài năm 2016 thì phải, sau này được lấy làm đề CSP. Mình sẽ post thêm một lời giải khác nếu có dịp. 

[nguyenhuybao06]

Từ giả thiết ta có $(a+b+c)^2=4(ab+bc+ca)$ 

Đặt $a+b+c=2x\Rightarrow ab+bc+ca=4x\Rightarrow b+c=2x-a$ và $bc=x^2-a(b+c)=x^2-2ax+a^2$ 

Mà ta có $(b+c)^2\geq4bc\Rightarrow(2x-a)^2\geq4x^2-8xa+4a^2\Rightarrow3a^2-4ax\leq0\Rightarrow a\leq\dfrac{4x}{3}$

Chứng minh tương tự ta thu được $0\leq a,b,c \leq \dfrac{4x}{3}$

Do đó, ta có $$\left( a-\dfrac{4x}{3}\right) \left( b-\dfrac{4x}{3}\right) \left( c-\dfrac{4x}{3}\right) \leq0$$

$$\Leftrightarrow abc-\frac{4x}{3}(ab+bc+ca)+\frac{16x^2}{9}(a+b+c)-\frac{64x^3}{27}\leq0$$

$$\Leftrightarrow abc-\frac{4x^3}{3}+\frac{32x^3}{9}-\frac{64x^3}{27}\leq0$$

$$\Leftrightarrow abc\leq\frac{4x^3}{3}-\frac{32x^3}{9}+\frac{64x^3}{27}=\frac{8x^3}{54}=\frac{(a+b+c)^3}{54}$$

Do đó $$\sqrt[3]{54abc}\leq a+b+c\Leftrightarrow 3\sqrt[3]{2abc}\leq a+b+c $$ 

P/s: Lời giải thứ 2 này không phải là lời giải của mình mà là của thầy mình, mọi người tham khảo ạ.