Chủ đề này có 4 trả lời

[hngmcute]

Cho $x,y,z$ là các số thưc không âm thỏa mãn $x+y+z=12$

Tìm gtnn $x+2y+3z+8\sqrt{x+4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hngmcute: 01-11-2023 - 22:10

[dinhvu]

Đặt $P=x+2y+3z+8\sqrt{x+4}$

Xét $x=0,y=12,z=0\Rightarrow P=40$

Nếu $x$ tăng $a$ đơn vị thì 

$P=(x+a)+2(y-a)+3z+8\sqrt{x+a+4}$

Mà $(x+a)+2(y-a)+3z+8\sqrt{x+a+4} -x-2y-3z-8\sqrt{x+4}=a+8(\sqrt{x+a+4}-\sqrt{x+4})-2a=a+8\frac{a}{\sqrt{x+a+4}+\sqrt{x+4}}-2a$ mà lại có$\sqrt{x+a+4}+\sqrt{x+4}=<\sqrt{16}+\sqrt{16}=8$ nên $a+8\frac{a}{\sqrt{x+a+4}+\sqrt{x+4}}-2a\geq a+8\frac{a}{8}-2a\geq 0$

Dấu = xảy ra khi $x+a+4=x+4=16\Leftrightarrow x=12,a=0,y=12,z=0$ (vô lí)

Vậy khi $x$ tăng thì P tăng.

Nếu $z$ tăng a đơn vị thì 

$P=x+2y+3z+8\sqrt{x+4}+a$$\Rightarrow P$ tăng

Vậy khi$z$ tăng thì P tăng

Nếu cả $x$ và $z$ tăng thì là gộp của 2 TH trên.

 Vậy P min= 40 khi $x=0, y=12,z=0$.( mình không chắc cách làm đúng không)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dinhvu: 05-11-2023 - 09:47

[perfectstrong]

Đặt $P=x+2y+3z+8\sqrt{x+4}$

Xét $x=0,y=12,z=0\Rightarrow P=40$

Nếu $x$ tăng $a$ đơn vị thì 

$P=(x+a)+2(y-a)+3z+8\sqrt{x+a+4}$

Mà $(x+a)+2(y-a)+3z+8\sqrt{x+a+4} -x-2y-3z-8\sqrt{x+4}=a+8(\sqrt{x+a+4}-\sqrt{x+4})-2a=a+8\frac{a}{\sqrt{x+a+4}+\sqrt{x+4}}-2a$ mà lại có$\sqrt{x+a+4}+\sqrt{x+4}=<\sqrt{16}+\sqrt{16}=8$ nên $a+8\frac{a}{\sqrt{x+a+4}+\sqrt{x+4}}-2a\geq a+8\frac{a}{8}-2a\geq 0$

Dấu = xảy ra khi $x+a+4=x+4=16\Leftrightarrow x=12,a=0,y=12,z=0$ (vô lí)

Vậy khi $x$ tăng thì P tăng.

Nếu $z$ tăng a đơn vị thì 

$P=x+2y+3z+8\sqrt{x+4}+a$$\Rightarrow P$ tăng

Vậy khi$z$ tăng thì P tăng

Nếu cả $x$ và $z$ tăng thì là gộp của 2 TH trên.

 Vậy P min= 40 khi $x=0, y=12,z=0$.( mình không chắc cách làm đúng không)

Nếu để ý hệ số thì $P(x,y,z)$ là hàm tăng đối với $x,y,z$, nên nhận xét của bạn có vẻ thừa thãi.
Nhưng có vẻ bạn muốn sử dụng dồn biến phải không? Thế thì bạn còn thiếu vài trường hợp:

Bước đầu bạn chứng minh $P(x+a,y-a,z) \ge P(x,y,z)$. Nhưng bạn phải chứng minh tổng quát hơn rằng $P(x+a,y-b,z-c) \ge P(x,y,z)$ với mọi $a,b,c$ sao cho $a=b+c$. Tương tự cho bước 2.

[dinhvu]

í em xét cái $x=0,y=12,z=0$ thì nếu $x$ tăng $a$ đơn vị thì chỉ có $y$ giảm chứ $z$ ko giảm đc í ạ.Rồi xét cái lúc sau thay đổi với cái ban đầu với $x=0,y=12,z=0$ thì nó luôn tăng í ạ. Kiểu nó cứ khó diễn đạt í :v   

[thvn]

Với hàm nhiều biến, chúng ta phải cẩn thận khi lý luận.

Với BĐT không đối xứng thì dồn biến càng phải cẩn trọng hơn vì vai trò các biến không giống nhau. Thậm chí những BĐT thức đối xứng bộ phận làm cũng đã khó.

Với bài trên ta đặt $P=x+2y+3z+8\sqrt{x+4}$ và biến đổi:

$P = x + 2y + 3z + 8\sqrt{x + 4}$ = $(x + y + z) + (y + z) + z + 8\sqrt{x + 4}$ $\geq$  $(x + y + z) + (y + z) +8\sqrt{x + 4}$ = $24 - x +8\sqrt{x + 4}$

Cần thiết thì đặt thêm $\sqrt{x + 4}$ = t $(2\leq t \leq 4)$rồi quy về bài toán tìm GTLN, GTNN của tam thức bậc 2 trên khoảng xác định là tìm được kết quả.

GTNN của P là 40, đạt được khi x = z = 0( t = 2); y =12.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thvn: 06-11-2023 - 07:43