Chủ đề này có 2 trả lời

[Giabao209]

Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho

$(3^n-1) \vdots 2^{^{2023 }}$

[Konstante]

Vì $3^{2^1} \equiv 1 \pmod{2^3}$ nên $$3^{2^{2021}} \equiv 1 \pmod{2^{2023}}$$

Do vậy nếu $n$ là số nhỏ nhất thỏa mãn $$3^n \equiv 1 \pmod{2^{2023}}$$ thì $n \mid 2^{2021}$. Hiển nhiên là $n \neq 1$, nên $2 \mid n$, đến đây ta sử dụng bổ đề LTE $$\begin{align*}\nu_2(3^n-1) &= \nu_2(3^2 - 1) + \nu_2(n) - 1 \\ &= \nu_2(n) + 2\end{align*}$$thu được $\nu_2(n) + 2 \geq 2023$, hay là $2^{2021} \mid n$. Vì vậy $n = 2^{2021}$.

 

Có thể thay $3$ bởi một số lẻ khác và ta vẫn thu được cùng kết quả

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Konstante: 05-11-2023 - 21:21

[nhungvienkimcuong]

Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho

$(3^n-1) \vdots 2^{^{2023 }}$

Để tránh sử dụng bổ đề nâng lũy thừa thì làm như sau. Đặt $n=2^ab$ với $a,b$ là các số tự nhiên sao cho $b$ lẻ, khi đó

\[3^n-1=\big(3^{2^a}\big)^b-1=\left(3^{2^a}-1 \right )\bigg[\underbrace{\big(3^{2^a}\big)^{b-1}+\big(3^{2^a}\big)^{b-2}+\dots+3^{2^a}+1}_{B} \bigg].\]

Dễ thấy $B\equiv b\pmod{2}$, mà $b$ lẻ nên $B$ lẻ. Như vậy

\begin{equation}\label{1}2^{2023}\mid 3^n-1\iff 2^{2023}\mid 3^{2^a}-1.\end{equation}

Tiếp theo ta có

\[\begin{align*}3^{2^a}-1=( 3^{2^{a-1}}-1 )( 3^{2^{a-1}}+1)=\dots &=(3-1)(3+1)(3^2+1)\dots(3^{2^{a-1}}+1 )\\ &=8(3^2+1)(3^4+1)\dots(3^{2^{a-1}}+1 ).\end{align*}\]

Với mọi $k\in\{1,2,\dots,a-1\}$ thì $3^{2^k}+1$ là bội của $2$ nhưng không phải bội của $4$, do vậy $3^{2^a}-1$ là bội của $8\cdot 2^{a-1}=2^{a+2}$ nhưng không phải bội của $2^{a+3}$. Dẫn đến

\begin{equation}\label{2}2^{2023}\mid 3^{2^a}-1\iff a+2\ge 2023\iff a\ge 2021.\end{equation}

Từ \eqref{1} và \eqref{2} suy ra $n=2^{2021}$ là số nhỏ nhất cần tìm.