Chủ đề này có 3 trả lời

[mathematicsiseasyhuh]

Cho a,b,c thuộc đoạn [0,1]
CMR: $a+b+c-abc\le2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mathematicsiseasyhuh: 09-11-2023 - 20:27

[fanmu20nam]

Không mất tính tổng quát, giả sử $c\geq b\geq a$.

$\Rightarrow c(c-b)(c-a)\geq 0\Leftrightarrow abc+2c^3\geq c^2(a+b+c)\Leftrightarrow abc\geq c^2(a+b+c)-2c^3$.

$\Rightarrow VT\leq (a+b+c)+2c^3-c^2(a+b+c)=2c^3+(1-c^2)(a+b+c) (1).$

Do $a,b,c\in \left [ 0,1 \right ]$ nên $1-c^2\geq 0$. Kết hợp $c\geq b\geq a$

$\Rightarrow 2c^3+(1-c^2)(a+b+c)\leq 2c^3+(1-c^2)(c+c+c)=3c-c^3 (2).$

Bây giờ, ta sẽ chứng minh $3c-c^3\leq 2\Leftrightarrow c^3-3c+2\geq 0 \Leftrightarrow (c-1)^2(c+2)\geq 0$ (Luôn đúng).

Kết hợp $(1)$ và $(2)$ ta có đpcm. Đạt được khi $a=b=c=1$ hoặc $b = c = 1,a=0$ và các hoán vị của chúng.

 

 

[thvn]

Ta sẽ sử dụng phương pháp hàm số như sau:

Đặt f(a) = a + b + c – abc – 2. Đây là hàm bậc nhất đối với a.

Dễ thấy:

f(0) = b + c – 2 ≤ 0 vì 0 ≤ b, c ≤ 1.

f(1) = 1 + b + c – bc – 2 = b + c – bc – 1 = –(1 – b)(1 – c) ≤ 0

⇒ f(a) ≥ 0 với mọi 0 ≤ a ≤1 ⇒ a + b + c  ≤ abc + 2.

Dấu “=” xảy ra khi hai trong 3 số a, b, c bằng 1.

Bài toán được chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thvn: 07-01-2024 - 16:34

[thvn]

Sang nay trong lớp đội tuyển của mình có bạn S.Toàn giải như thế này, tương đối hay và ngắn gọn.

Từ 0 ≤ b, c ≤ 1 ⇒ a(1 – b)(1 – c) ≥ 0 ⇒ abc ≥ a(b + c) – a

= a + b + c – 2   + (a – 1)(b + c – 2).

Vì a – 1 ≤ 0 và b + c – 2 ≤ 0 ⇒ (a – 1)(b + c – 2) ≥ 0

⇒ a + b + c – 2   + (a – 1)(b + c – 2) ≥ a + b + c – 2   

Suy ra: abc ≥ a + b + c – 2 hay a + b + c  ≤ abc + 2.

Dấu “=” xảy ra khi hai trong 3 số a, b, c bằng 1.

Bài toán được chứng minh.

Việc đánh giá này cũng rất hữu ích với một số bài toán tương tự!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thvn: 07-01-2024 - 16:51