Chủ đề này có 4 trả lời

[Sangnguyen3]

1/Tìm tất cả các số nguyên dương $(m;n)$ sao cho: $m\mid 2^{\varphi (n)}+1$ và $n\mid 2^{\varphi (m)}+1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sangnguyen3: 15-11-2023 - 19:54

[thvn]

1/Tìm tất cả các số nguyên dương $(m;n)$ sao cho: $m\mid 2^{\varphi (n)}+1$ và $n\mid 2^{\varphi (m)}+1$

 

${\varphi (n)}$ là Hàm phi Euler bạn nhỉ?

[Sangnguyen3]

Lời giải

Dễ thấy $m,n$ lẻ

Với $m=1 \Rightarrow n\in \left \{ 1;3 \right \}$. Ta có $3$ cặp $(1;1),(1;3),(3;1)$ thỏa mãn 
Xét $m,n\geq 3$, ta đặt: 

$m=\prod_{k=1}^{N}p_k^{a_k},n=\prod_{k=1}^{M}q_k^{b_k}$

Với $1\leq i\leq N,1\leq j\leq M$, ta có : 

$v_2(p_i-1)=\underset{1\leq k\leq N}{min} v_2(p_k-1)$

$v_2(q_j-1)=\underset{1\leq k\leq M}{min} v_2(q_k-1)$

Ta có : $m|2^{\varphi(n)}+1 \Rightarrow 2^{\varphi(n)}\equiv -1(\mod p_i^{a_i}) \Rightarrow 2^{2\varphi(n)}\equiv 1 (\mod p_i^{a_i})$

Đặt: $d_i=ord_{p_i^{a_i}}(2)$ thì ta được $d_i \nmid \varphi(n)$ và $d_i \mid 2\varphi(n)$

$\Rightarrow v_2(d_i)=v_2\left ( \varphi(n) \right )+1$

Lại có theo định lí Euler, ta thu được : $2^{\varphi(p_i^{a_i})}\equiv 1 (\mod p_i^{a_i})$

$\Rightarrow d_i \mid \varphi(p_i^{a_i})\Rightarrow d_i \mid p_i^{a_i -1}(p_i-1)$

$\Rightarrow v_2(d_i)\leq v_2(p_i -1)$

$\Rightarrow v_2(p_i -1)\geq 1+ v_2(\varphi(n))\geq 1+ v_2(q_j -1)$
Tương tự đối với $q_j^{b_j}$ ta có được $v_2(q_j -1)\geq 1+ v_2(p_i -1)$

Từ hai điều trên, ta suy ra điều mâu thuẫn. Như vậy, không tồn tại các giá trị $m,n\geq 3$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sangnguyen3: 27-11-2023 - 22:29

[Sangnguyen3]

Cho số nguyên dương $a$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $b>a$ sao cho : 

$1+2^{a}+3^{a}\mid 1+2^{b}+3^{b}$

[Sangnguyen3]

3/Tìm tất cả số nguyên dương $n$ để tồn tại duy nhất số nguyên dương $a$ sao cho : $n! \mid a^{n}-1$

4/ Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$, tồn tại số nguyên dương m sao cho : $n \mid 2^{m}+m$

5/ Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên dương $n$ thỏa mãn : $\varphi(n)<\varphi(n+1)<\varphi(n+2)$

6/ Giải phương trình nghiệm nguyên dương $(a;n;p)$ trong đó $p$ là số nguyên tố thỏa mãn : 

$a^{2}(a^{2}+1)=5^{n}(5^{n+1}-p^{3})$