Bài này có hướng giải theo cách lớp 9 không ạ
Cho $a, b, c$ là các số thực không âm thoả mãn:
$ab + bc + ac + abc\leq 4$. CMR: $$ab+bc+ac \leq a+b+c.$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 23-11-2023 - 08:21
Bài này có hướng giải theo cách lớp 9 không ạ
Cho $a, b, c$ là các số thực không âm thoả mãn:
$ab + bc + ac + abc\leq 4$. CMR: $$ab+bc+ac \leq a+b+c.$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 23-11-2023 - 08:21
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhuybao06: 23-11-2023 - 16:09
Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.
Cảm ơn bạn nhưng đề bài là a,b,c không âm tức là a,b,c lớn hơn hoặc bằng 0 nên ở bước nhân cả tử và mẫu cho a,b,c để áp dụng cauchy-schwars là chưa đúngVới $ab+bc+ca+abc\leq4$ ta có $$\frac{1}{a+2} +\frac{1}{b+2} +\frac{1}{c+2} \geq1$$
Bất đẳng thức trên tương đương $$\frac{2}{a+2} +\frac{2}{b+2} +\frac{2}{c+2} \geq2$$
$$1-\frac{a}{a+2}+1-\frac{b}{b+2}+1-\frac{c}{c+2} \geq2$$
$$\frac{a}{a+2}+\frac{b}{b+2}+\frac{c}{c+2}\leq1$$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có
$$1\geq\frac{a}{a+2}+\frac{b}{b+2}+\frac{c}{c+2}=\frac{a^2}{a^2+2a}+\frac{b^2}{b^2+2b}+\frac{c^2}{c^2+2c}\geq\dfrac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+2a+2b+2c}$$
Do đó $$a^2+b^2+c^2+2a+2b+2c\geq(a+b+c)^2\Leftrightarrow a+b+c\geq ab+bc+ca$$
Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
P/s: Cái bất đẳng thức ở đầu mình dùng bạn có thể chứng minh bằng quy đồng nhé.
Cảm ơn bạn nhưng đề bài là a,b,c không âm tức là a,b,c lớn hơn hoặc bằng 0 nên ở bước nhân cả tử và mẫu cho a,b,c để áp dụng cauchy-schwars là chưa đúng
Đoạn đấy bạn có thể dùng CS dạng thường thay vì cộng mẫu, xin lỗi vì đọc nhầm đề nhé.
Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.
Đoạn đấy bạn có thể dùng CS dạng thường thay vì cộng mẫu, xin lỗi vì đọc nhầm đề nhé.
bạn có thể làm rõ ra được không.
bạn có thể làm rõ ra được không.
$\left [ (a(a+2)+b(b+2)+c(c+2)\right ](\frac{a}{a+2}+\frac{b}{b+2}+\frac{c}{c+2})\geq(a+b+c)^2$
Bài này có hướng giải theo cách lớp 9 không ạ
Cho $a, b, c$ là các số thực không âm thoả mãn:
$ab + bc + ac + abc\leq 4$. CMR: $$ab+bc+ac \leq a+b+c.$$
Theo nguyên lí Đi-rich-lê thì trong ba số $a-1,b-1,c-1$ phải có hai số cùng dấu; giả sử là $a-1$ và $b-1$. Khi đó
\[c(a-1)(b-1)\ge 0\implies c\ge ac+bc-abc\implies a+b+c\ge a+b-abc+ac+bc.\]
Như vậy ta cần chứng minh
\[a+b-abc+ac+bc\ge ab+bc+ca\iff a+b\ge ab(c+1).\]
Mặt khác theo giả thiết thì $c\le \frac{4-ab}{a+b+ab}$ (ở đây đang xét $a^2+b^2\neq 0$), do đó ta cần chứng tỏ
\[a+b\ge ab\left(\frac{4-ab}{a+b+ab}+1\right)\iff \frac{(a-b)^2}{a+b+ab}\ge 0.\]
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
Theo nguyên lí Đi-rich-lê thì trong ba số $a-1,b-1,c-1$ phải có hai số cùng dấu; giả sử là $a-1$ và $b-1$. Khi đó
\[c(a-1)(b-1)\ge 0\implies c\ge ac+bc-abc\implies a+b+c\ge a+b-abc+ac+bc.\]
Như vậy ta cần chứng minh
\[a+b-abc+ac+bc\ge ab+bc+ca\iff a+b\ge ab(c+1).\]
Mặt khác theo giả thiết thì $c\le \frac{4-ab}{a+b+ab}$ (ở đây đang xét $a^2+b^2\neq 0$), do đó ta cần chứng tỏ
\[a+b\ge ab\left(\frac{4-ab}{a+b+ab}+1\right)\iff \frac{(a-b)^2}{a+b+ab}\ge 0.\]
Với giả thiết bài toán thì mệnh đề "trong ba số $a-1$, $b-1$, $c-1$ phải có hai số cùng dấu" là chưa chặt. Vì nếu $a=b=1$ thì $a-1=b-1=0$, mà $0$ là số không âm, cũng không dương nên không thể nói $a-1$ và $b-1$ cùng dấu.
Thiết nghĩ, có thể xét 3 trường hợp:
TH1: $a=b=c=1$.
TH2: Trong ba số $a$, $b$, $c$ có hai số bằng 1, giả sử $a=b=1$.
TH3: Cả ba số $a$, $b$, $c$ đều khác 1.
TH1, TH2 thì dễ thấy đpcm; TH3 thì lời giải của bạn là trọn vẹn.
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh