Chủ đề này có 7 trả lời

[Betabaongoc]

Bài này có hướng giải theo cách lớp 9 không ạ
Cho $a, b, c$ là các số thực không âm thoả mãn:

$ab + bc + ac + abc\leq 4$. CMR: $$ab+bc+ac \leq a+b+c.$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 23-11-2023 - 08:21

[nguyenhuybao06]

Với $ab+bc+ca+abc\leq4$ ta có $$\frac{1}{a+2} +\frac{1}{b+2} +\frac{1}{c+2} \geq1$$   

Bất đẳng thức trên tương đương $$\frac{2}{a+2} +\frac{2}{b+2} +\frac{2}{c+2} \geq2$$    

$$1-\frac{a}{a+2}+1-\frac{b}{b+2}+1-\frac{c}{c+2} \geq2$$ 

$$\frac{a}{a+2}+\frac{b}{b+2}+\frac{c}{c+2}\leq1$$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có

$$1\geq\frac{a}{a+2}+\frac{b}{b+2}+\frac{c}{c+2}\geq\dfrac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+2a+2b+2c}$$

Do đó $$a^2+b^2+c^2+2a+2b+2c\geq(a+b+c)^2\Leftrightarrow a+b+c\geq ab+bc+ca$$

Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

P/s: Cái bất đẳng thức ở đầu mình dùng bạn có thể chứng minh bằng quy đồng nhé.  

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhuybao06: 23-11-2023 - 16:09

[Betabaongoc]

Với $ab+bc+ca+abc\leq4$ ta có $$\frac{1}{a+2} +\frac{1}{b+2} +\frac{1}{c+2} \geq1$$   
Bất đẳng thức trên tương đương $$\frac{2}{a+2} +\frac{2}{b+2} +\frac{2}{c+2} \geq2$$    
$$1-\frac{a}{a+2}+1-\frac{b}{b+2}+1-\frac{c}{c+2} \geq2$$ 
$$\frac{a}{a+2}+\frac{b}{b+2}+\frac{c}{c+2}\leq1$$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có
$$1\geq\frac{a}{a+2}+\frac{b}{b+2}+\frac{c}{c+2}=\frac{a^2}{a^2+2a}+\frac{b^2}{b^2+2b}+\frac{c^2}{c^2+2c}\geq\dfrac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+2a+2b+2c}$$
Do đó $$a^2+b^2+c^2+2a+2b+2c\geq(a+b+c)^2\Leftrightarrow a+b+c\geq ab+bc+ca$$
Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
P/s: Cái bất đẳng thức ở đầu mình dùng bạn có thể chứng minh bằng quy đồng nhé.

Cảm ơn bạn nhưng đề bài là a,b,c không âm tức là a,b,c lớn hơn hoặc bằng 0 nên ở bước nhân cả tử và mẫu cho a,b,c để áp dụng cauchy-schwars là chưa đúng

[nguyenhuybao06]

Cảm ơn bạn nhưng đề bài là a,b,c không âm tức là a,b,c lớn hơn hoặc bằng 0 nên ở bước nhân cả tử và mẫu cho a,b,c để áp dụng cauchy-schwars là chưa đúng

Đoạn đấy bạn có thể dùng CS dạng thường thay vì cộng mẫu, xin lỗi vì đọc nhầm đề nhé. 

[Betabaongoc]

Đoạn đấy bạn có thể dùng CS dạng thường thay vì cộng mẫu, xin lỗi vì đọc nhầm đề nhé. 

bạn có thể làm rõ ra được không.

[dinhvu]

bạn có thể làm rõ ra được không.

$\left [ (a(a+2)+b(b+2)+c(c+2)\right ](\frac{a}{a+2}+\frac{b}{b+2}+\frac{c}{c+2})\geq(a+b+c)^2$

[nhungvienkimcuong]

Bài này có hướng giải theo cách lớp 9 không ạ
Cho $a, b, c$ là các số thực không âm thoả mãn:

$ab + bc + ac + abc\leq 4$. CMR: $$ab+bc+ac \leq a+b+c.$$

Theo nguyên lí Đi-rich-lê thì trong ba số $a-1,b-1,c-1$ phải có hai số cùng dấu; giả sử là $a-1$ và $b-1$. Khi đó

\[c(a-1)(b-1)\ge 0\implies c\ge ac+bc-abc\implies a+b+c\ge a+b-abc+ac+bc.\]

Như vậy ta cần chứng minh

\[a+b-abc+ac+bc\ge ab+bc+ca\iff a+b\ge ab(c+1).\]

Mặt khác theo giả thiết thì $c\le \frac{4-ab}{a+b+ab}$ (ở đây đang xét $a^2+b^2\neq 0$), do đó ta cần chứng tỏ

\[a+b\ge ab\left(\frac{4-ab}{a+b+ab}+1\right)\iff \frac{(a-b)^2}{a+b+ab}\ge 0.\]

[vo van duc]

Theo nguyên lí Đi-rich-lê thì trong ba số $a-1,b-1,c-1$ phải có hai số cùng dấu; giả sử là $a-1$ và $b-1$. Khi đó

\[c(a-1)(b-1)\ge 0\implies c\ge ac+bc-abc\implies a+b+c\ge a+b-abc+ac+bc.\]

Như vậy ta cần chứng minh

\[a+b-abc+ac+bc\ge ab+bc+ca\iff a+b\ge ab(c+1).\]

Mặt khác theo giả thiết thì $c\le \frac{4-ab}{a+b+ab}$ (ở đây đang xét $a^2+b^2\neq 0$), do đó ta cần chứng tỏ

\[a+b\ge ab\left(\frac{4-ab}{a+b+ab}+1\right)\iff \frac{(a-b)^2}{a+b+ab}\ge 0.\]

 

Với giả thiết bài toán thì mệnh đề "trong ba số $a-1$, $b-1$, $c-1$ phải có hai số cùng dấu" là chưa chặt. Vì nếu $a=b=1$ thì $a-1=b-1=0$, mà $0$ là số không âm, cũng không dương nên không thể nói $a-1$ và $b-1$ cùng dấu.

 

Thiết nghĩ, có thể xét 3 trường hợp:

TH1: $a=b=c=1$.

TH2: Trong ba số $a$, $b$, $c$ có hai số bằng 1, giả sử $a=b=1$.

TH3: Cả ba số $a$, $b$, $c$ đều khác 1.

TH1, TH2 thì dễ thấy đpcm; TH3 thì lời giải của bạn là trọn vẹn.