Chủ đề này có 2 trả lời

[hovutenha]

Cho $p$ là số nguyên tố lớn hơn $5$. Có tồn tại hay không số $n\in \mathbb{N^{*}}$ và các số nguyên dương $x_1, x_2, ..., x_n \in (1,9)$ sao cho:

$x_n100^{n-1}+x_{n-1}100^{n-2}+...+x_1\equiv 0 (mod p)$

[nhungvienkimcuong]

Cho $p$ là số nguyên tố lớn hơn $5$. Có tồn tại hay không số $n\in \mathbb{N^{*}}$ và các số nguyên dương $x_1, x_2, ..., x_n \in (1,9)$ sao cho:

$x_n100^{n-1}+x_{n-1}100^{n-2}+...+x_1\equiv 0 (mod p)$

Nhìn nguy hiểm nhưng bài này lại rất tầm thường. Câu trả lời là tồn tại, trường hợp $p\neq 11$ thì chọn $n=p-1$ và tất cả các số $x_i=2$, khi đó

\[2\left(100^{p-2}+\dots+100+1 \right )=\frac{2(100^{p-1}-1)}{99}.\]

Vì $p\mid 100^{p-1}-1$ và ƯCLN$(99,p)=1$ nên biểu thức trên là bội của $p$. Trường hợp $p=11$ thì bạn tự nghĩ thử nhé.

[hovutenha]

Thật ra bài này rất dễ nhưng hình thức phát biểu hơi "khủng" thôi ạ.

Lời giải của mình sẽ như sau:

Ta sẽ chọn $x_{i}=1,\forall i=\overline{1,n}$ và để ý thêm do $p>5$ nên $(100,p)=1$

Do đó số dư khi chia cho $p$ của $100^{t}$ tuần hoàn theo $mod$ $ord_{p}(100)$

Khi đó nếu ta chọn số $n=p.ord_{p}(100)$ thì hiển nhiên số đó chia hết cho $p$ và ta có thể khẳng định là tồn tại.

 

Mọi người thử vận dụng kết quả trên để chứng minh bài toán khó hơn như sau:

 

Số dao động là một số nguyên dương có các chữ số khác $0$ và $0$ xen kẽ (với chữ số hàng đơn vị khác $0$). Ví dụ: $20103$ là một số dao động. Tìm tất cả các số nguyên dương mà không là ước của bất kì một số dao động nào.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hovutenha: 04-12-2023 - 19:37