Cho các số thực a, b, c thỏa mãn: $0 \le a, b, c \le 1$ và $a + b + c \ge 2$
Chứng minh rằng $ab(a + 1) + bc(b + 1) + ca(c + 1) \ge 2$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 13-12-2023 - 14:04
Tiêu đề & LaTeX
Cho các số thực a, b, c thỏa mãn: $0 \le a, b, c \le 1$ và $a + b + c \ge 2$
Chứng minh rằng $ab(a + 1) + bc(b + 1) + ca(c + 1) \ge 2$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 13-12-2023 - 14:04
Tiêu đề & LaTeX
N.K.S - Learning from learners!
Cho các số thực a, b, c thỏa mãn: $0 \le a, b, c \le 1$ và $a + b + c \ge 2$
Chứng minh rằng $ab(a + 1) + bc(b + 1) + ca(c + 1) \ge 2$.
Xét $a=0$, khi đó VT=$bc(b+1)$. Với điều kiện $0 \leq b, c \leq 1$ ta suy ra VT$\leq 2$.
Bất đẳng thức cần chứng minh không đúng.
---
Viết xong mới thấy nhận xét không chuẩn. Xin lỗi tác giả ạ.
Vì khi $b, c \leq 1$ mà $b+c \geq 2$ thì ta phải có $b=c=1$. Khi đó BĐT cần chứng minh xảy ra dấu đẳng thức. Không có gì sai ạ.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 17-12-2023 - 08:07
Cho các số thực a, b, c thỏa mãn: $0 \le a, b, c \le 1$ và $a + b + c \ge 2$
Chứng minh rằng $ab(a + 1) + bc(b + 1) + ca(c + 1) \ge 2$.
Do $0 \leq a,b,c \leq 1$ nên
$$ a(a-1)(b-1) \geq 0$$
$$ \leftrightarrow a^2b\geq ab+a^2-a$$
Thiết lập các bất đẳng thức tương tự và cộng lại ta được
$VT \geq a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca-a-b-c$ $= (a+b+c)^2-(a+b+c) = (a+b+c)(a+b+c-2) +(a+b+c) \geq 2 $
Vậy ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra $\leftrightarrow a=0,b=c=1$ và các hoán vị
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 18-12-2023 - 12:20
Công thức tràn màn hình
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh