Chủ đề này có 2 trả lời

[thvn]

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn: $0 \le a, b, c \le 1$ và $a + b + c \ge 2$

Chứng minh rằng $ab(a + 1) + bc(b + 1) + ca(c + 1) \ge 2$.

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 13-12-2023 - 14:04
Tiêu đề & LaTeX

[HaiDangPham]

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn: $0 \le a, b, c \le 1$ và $a + b + c \ge 2$

Chứng minh rằng $ab(a + 1) + bc(b + 1) + ca(c + 1) \ge 2$.

 

Xét $a=0$, khi đó VT=$bc(b+1)$. Với điều kiện $0 \leq b, c \leq 1$ ta suy ra VT$\leq 2$.

Bất đẳng thức cần chứng minh không đúng. 

---

Viết xong mới thấy nhận xét không chuẩn. Xin lỗi tác giả ạ. 

Vì khi $b, c \leq 1$ mà $b+c \geq 2$ thì ta phải có $b=c=1$. Khi đó BĐT cần chứng minh xảy ra dấu đẳng thức. Không có gì sai ạ. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 17-12-2023 - 08:07

[Duc3290]

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn: $0 \le a, b, c \le 1$ và $a + b + c \ge 2$

Chứng minh rằng $ab(a + 1) + bc(b + 1) + ca(c + 1) \ge 2$.

Do $0 \leq a,b,c \leq 1$ nên

$$ a(a-1)(b-1) \geq 0$$

$$ \leftrightarrow a^2b\geq ab+a^2-a$$

Thiết lập các bất đẳng thức tương tự và cộng lại ta được

$VT  \geq a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca-a-b-c$ $= (a+b+c)^2-(a+b+c)  = (a+b+c)(a+b+c-2) +(a+b+c) \geq 2 $

Vậy ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra $\leftrightarrow a=0,b=c=1$ và các hoán vị

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 18-12-2023 - 12:20
Công thức tràn màn hình