Chủ đề này có 4 trả lời

[Sangnguyen3]

Một số tự nhiên được gọi là số “đẹp” nếu nó có thể phân tích được thành tích của một số các số nguyên dương mà tổng của chúng bằng 2020. Hãy tìm số “đẹp” lớn nhất.

[thvn]

Một số tự nhiên được gọi là số “đẹp” nếu nó có thể phân tích được thành tích của một số các số nguyên dương mà tổng của chúng bằng 2020. Hãy tìm số “đẹp” lớn nhất.

Dựa vào 2 nhận xét:

Với 2 số nguyên dương a, b thì:

i. $a, b > 1 \Rightarrow a + b \leq a.b$

ii. $a + b < 4 \Rightarrow a.b < a + b$

Nên mạnh dạn gia cát dự số đẹp lớn nhất là $4^{505}$

Kể ra mà bạn thay 2020 bằng số không chia hết cho 4, chẳng hạn 2023 thì đẹp quá 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thvn: 17-12-2023 - 16:47

[perfectstrong]

Ý tưởng là đánh giá các số nhỏ nhất và lớn nhất, và thay thế bằng những cặp số cùng tổng nhưng có tích lớn hơn.

 

Giả sử $x_1 \le x_2 \le \ldots \le x_n$ là một cách phân tích tổng $S$ sao cho tích $P=x_1x_2\ldots x_n$ lớn nhất với mọi $n$.

 

Đầu tiên, ta thấy nếu có số $1$ trong dãy thì sẽ "phí phạm" vì $1$ không đóng góp gì cho $P$. Ta sẽ chứng minh $x_1 > 1$.

1. Nếu $x_1 = x_2 = 1$ thì ta thay $x_1, x_2$ bằng $x'_1 = 2$, ta được tập $\{x'_1, x_3, \ldots, x_n\}$ cũng tạo thành tổng $S$ và có tích $P' = 2P > P$: vô lý. Do đó, $\color{red} x_2 > 1$.

2. Nếu $x_1 = 1$:

2.1. Nếu $x_2=2$: thay $x_1, x_2$ bằng $x'_1 =3$, ta được một cách phân tích mới của tổng $S$ nhưng $P'=\frac{3}{2}P > P$: vô lý.

2.1. Nếu $x_2 \ge 3$: thay $x_1, x_2$ bằng $x'_1 = 2, x'_2 = x_2 - 1$. Ta chứng minh $x'_1 x'_2 > x_1 x_2$. Thật vậy: $x'_1 x'_2 > x_1x_2 \Leftrightarrow 2x_2 - 2 > x_2 \Leftrightarrow x_2 > 2$: luôn đúng. Vậy nên $P' > P$: vô lý.

Do đó, $\color{red} x_1 \ge 2$.

 

Khi đã biết được số nhỏ nhất phải là $2$, ta thử với các số nhỏ hơn để lấy ý tưởng (chú ý rằng $4 = 2 \times 2 = 2 + 2$ nên ta sẽ không dùng số $4$)

$4 = 2 + 2 \Rightarrow P = 4$

$5 = 2 + 3 \Rightarrow P = 2 \times 3 = 6$

$6 = 2 + 2 + 2 = 3 + 3 \Rightarrow P = 3 \times 3 = 9 > 2 \times 2 \times 2 = 8$

$7 = 2 + 2 + 3 = 2 + 5 \Rightarrow P = 12 = 2 \times 2 \times 3 > 2 \times 5$

$8 = 2 + 2 + 2 + 2 = 2 + 3 + 3 = 2 + 6 = 3 + 5 \Rightarrow P = 2 \times 3 \times 3 = 18 > \ldots$

$9 = 2 + 2 + 2 + 3 = 2 + 2 + 5 = 2 + 3 + 4 = 2 + 7 = 3 + 3 + 3 = 3 + 6 \Rightarrow P = 27 = 3 \times 3 \times 3 > \ldots$

 

Ta thấy rằng:

3. Nếu có $x_i \ge 5$, ta thay $x_i$ bằng $x' = 2, x''=x_i -2$. Ta chứng minh $x' x'' > x_i \Leftrightarrow 2x_i - 4 > x_i \Leftrightarrow x_i > 4$: luôn đúng. Nên $P'>P$: vô lý. Do đó, $x_i < 5 \forall i$.

4. Nếu có $x_i = 4$, ta có thể thay $x_i$ bằng $x' = x'' = 2$ mà không làm thay đổi tích hay tổng.

5. Nếu có 3 số $2$, ta có thay bằng $2$ số $3$ để tích trở nên lớn hơn $\frac{9}{8}$ lần.

Vậy tập hợp các số $x_i$ chỉ bao gồm các số $2$ và $3$, và có không quá hai số $2$.

 

Kết luận: nếu $S=3k+r$ thì \[{P_{\max }} = \left\{ \begin{array}{l}
{3^k}{\text{ nếu }}r = 0\\
{4.3^{k - 1}}{\text{ nếu }}r = 1\\
{2.3^k}{\text{ nếu }}r = 2
\end{array} \right.\]

 

Với $S=2020=3 \times 673 + 1$, ta có $P_{\max}=4.3^{672}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 18-12-2023 - 03:04

[perfectstrong]

Dựa vào 2 nhận xét:

Với 2 số nguyên dương a, b thì:

i. $a, b > 1 \Rightarrow a + b \leq a.b$

ii. $a + b < 4 \Rightarrow a.b < a + b$

Nên mạnh dạn gia cát dự số đẹp lớn nhất là $4^{505}$

Kể ra mà bạn thay 2020 bằng số không chia hết cho 4, chẳng hạn 2023 thì đẹp quá 

Kết quả mình tìm ra lớn hơn của bạn tầm $1,54 \times 10^{17}$ lần

https://www.wolframa...x 3^672 / 4^505

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 18-12-2023 - 03:07

[nmlinh16]

Một cách để đoán ra được đáp án này 

 

Vậy tập hợp các số $x_i$ chỉ bao gồm các số $2$ và $3$, và có không quá hai số $2$.

là giải bài toán liên tục trước.

 

Đầu tiên, ta tìm các số thực dương $x_1,\ldots,x_n$ với tông $x_1 + \cdots + x_n = a$ không đổi (ở đây là $a = 2020$), sao cho tích $x_1 \cdots x_n$. Bằng bất đẳng thức AM-GM, ta thấy điều này đạt được khi $x_1 = \cdots = x_n = \frac{a}{n}$, và khi đó $x_1 \cdots x_n = \left(\frac{a}{n}\right)^n$.

Ta liên tục hóa thêm một lần nữa: tìm số thực $x > 0$ sao cho hàm $f(x) = \left(\frac{a}{x}\right)^x$ đạt giá trị lớn nhất. Đặt $g(x) = \ln (f(x))$ và khảo sát hàm số $g$, ta thấy $g$ đạt giá trị lớn nhất khi $x = \frac{a}{e}$.

Vậy ta phán đoán rằng tích $x_1 \cdots x_n$ đạt giá trị lớn nhất khi $x_1,\ldots,x_n$ "gần nhau nhất có thể" (hay đôi một hơn kém nhau không quá $1$ đơn vị), và chúng đều gần $e$ nhất có thể (hay nhận giá trị $2$ và $3$).

 

Khi đã đoán ra được đáp án trên thì ta chứng minh như @perfectstrong.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmlinh16: 18-12-2023 - 03:16