Chủ đề này có 1 trả lời

[adu]

Cho $\frac{1}{3}\leq a,b,c\leq 3, a+b+c=5, a^2+b^2+c^2=11$.Tìm $\min,\max abc$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 18-12-2023 - 03:12
Tiêu đề & LaTeX

[Leonguyen]

Nếu từ đầu không cho giả thiết là $\frac{1}{3}\le a,b,c\le3$ $(1)$ thì bài toán sẽ hay hơn. Ta sẽ đánh giá như sau:

$$11=a^2+b^2+c^2\le a^2+\frac{(b+c)^2}{2}=a^2+\frac{(5-a)^2}{2}\Rightarrow \frac{1}{3}\le a,b,c\le3.$$

Dễ dàng tính được $ab+bc+ca=7.$ Từ (1) ta suy ra được

$\left\{\begin{matrix} \left(a-\frac{1}{3}\right)\left(b-\frac{1}{3}\right)\left(c-\frac{1}{3}\right)\ge0 \\ (a-3)(b-3)(c-3)\le0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} abc\ge\frac{1}{27}+\frac{1}{3}(ab+bc+ca)-\frac{1}{9}(a+b+c)=\frac{49}{27}\\ abc\le27+3(ab+bc+ca)-9(a+b+c)=3 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\frac{49}{27}\le abc\le3.$

$abc$ đạt $\min$ tại $a=\frac{1}{3}, b=c=\frac{7}{3}$ và các hoán vị.

$abc$ đạt $\max$ tại $a=3, b=c=1$ và các hoán vị.

Vậy ...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Leonguyen: 18-12-2023 - 15:44