Chủ đề này có 1 trả lời

[stray]

tìm $x,y$ nguyên thỏa mãn $x^5+2024x=y^5+1$

[TungBauTroi]

$x(x^4+2024) = (y+1)(y^4-y^3+y^2-y+1)$ 
Nếu $|x|>|y|$ thì ta có:
$|y^5|+1>|y^5+1| = x.|x^4+2024|>|y|.|y^4+2024| = |y^5|+2024.|y|$
$\Rightarrow |y^5|+1 > |y^5|+2024.|y| \Rightarrow y=0$ thử lại không tìm được $x$
Nếu $|x|=|y|$ thì $y^5+1 = x^5+2024x$ chia hết cho $x$

Suy ra 1 $\vdots$ $x$  $\Rightarrow x=1$ hoặc $x=-1$ thử lại thì thấy không tìm được $y$

Nếu $|x|<|y|$ :

Có $|x(x^4+2024)| = |y+1|.|y^4-y^3+y^2-y+1|$
(Dễ thấy $x^4+2024 > 0$ và $y^4-y^3+y^2-y+1 > 0$) 

Xét $x = 0$ suy ra $y = -1$ (thỏa mãn)

Xét $x \not = 0$ có:

$\frac{|x|}{|y+1|}$ = $\frac{y^4-y^3+y^2-y+1}{x^4+2024}$

Có $|x|<|y| \Rightarrow \frac{|x|}{|y+1|} \leq 1 \Rightarrow \frac{y^4-y^3+y^2-y+1}{x^4+2024} \leq 1 $

$\Rightarrow y^4-y^3+y^2-y+1 \leq x^4+2024$

Nếu $y \geq 0$ thì do $|x|<|y| = y \Rightarrow |x| \leq y-1$

$\Rightarrow y^4-y^3+y^2-y+1 \leq x^4+2024 \leq (y-1)^4+2024$

$\Rightarrow 3y^3-5y^2+3y \leq 2024$

Nếu $y \geq 10$ thì $3y^3-5y^2+3y >2024 $ (VL)

Suy ra $0 \leq y < 10$

Lại có $ y+1 \equiv y^5+1 \equiv x^5+2024x \equiv x^5-x \equiv 0$ (mod 5)

$ y+1 \equiv y^5+1 \equiv x^5+2024x \equiv x^5-x \equiv 0$ (mod 3)

Mà ta thấy không tồn tại y nguyên thỏa mãn tất cả các điều kiện trên
Nếu y < 0 vì $|x| < |y| = -y$ $\Rightarrow |x| \leq -y-1$

$\Rightarrow y^4-y^3+y^2-y+1 \leq x^4+2024x \leq (-y-1)^4+2024$

$\Rightarrow -5y^3-5y^2-5y \leq 2024$

Nếu $y \leq -8$ thì $-5y^3-5y^2-5y > 2024$

$\Rightarrow 0>y>-8$

Lại có $ y+1 \equiv y^5+1 \equiv x^5+2024x \equiv x^5-x \equiv 0$ (mod 5)

$ y+1 \equiv y^5+1 \equiv x^5+2024x \equiv x^5-x \equiv 0$ (mod 3)

Mà ta thấy không tồn tại y nguyên thỏa mãn tất cả các điều kiện trên

 

Vậy $(x;y) = (0;-1)$