Chủ đề này có 1 trả lời

[NamUS]

Tìm hàm sinh của $\{a_n\}_{n\ge 0}$ với $a_n$ là số cách chọn 5 số khác nhau từ các số $1, 2, 3, \ldots , n$ sao cho không có hai số liên tiếp nhau. Sau đó tính $a_{20}$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 19-12-2023 - 04:31
Tiêu đề & LaTeX

[Nobodyv3]

Tìm hàm sinh của $\{a_n\}_{n\ge 0}$ với $a_n$ là số cách chọn 5 số khác nhau từ các số $1, 2, 3, \ldots , n$ sao cho không có hai số liên tiếp nhau. Sau đó tính $a_{20}$

Giả sử chọn được 5 số, xếp n số theo thứ tự tăng dần. Gọi $x_1, x_6$ lần lượt là số các số trước số thứ nhất và sau số thứ năm, $x_2,...,x_5$ là số các số ở giữa các số được chọn, như vậy ta có hệ phương trình :$\left\{\begin{matrix}
x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6&=n-5 \\
x_1,\;x_6\geq0;\;x_2,x_3,x_4,x_5\geq1
\end{matrix}\right.$Từ đó ta có được hàm sinh :$$\begin {align*}
f(z)&=\left (\frac {1}{1-z} \right )^2\left (\frac {z}{1-z} \right )^4\\&=\boldsymbol {z^4\left (1-z \right )^{-6}}
\end {align*}$$Với n=20, số cách chọn 5 số thỏa yêu cầu chính là hệ số của số hạng chứa $z^{20-5}$ trong khai triển của $f(z)$ và bằng :$$\begin{align*}
a_{20}=\left [ z^{20-5} \right ]f(z)&=\left [ z^{15} \right ]z^4\left (1-z \right )^{-6}\\&=\left [ z^{11} \right ]\sum_{k=0}^{\infty }\binom {-6}{k}(-z)^k\\&=\binom {16}{5}=\boldsymbol {4368}
\end {align*}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 19-12-2023 - 18:37