Chủ đề này có 2 trả lời

[ninhbinhk8]

Cho n>4 là một hợp số sao cho $n| \varphi (n)\sigma (n)+1$. Chứng minh rằng n có ít nhất ba ước nguyên tố phân biệt

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ninhbinhk8: 19-12-2023 - 21:08

[ninhbinhk8]

Em giả sử n có 2 ước nguyên tố sau đó sử dụng kĩ thuật bước nhảy Viet để chỉ ra vô lí nha

Đừng quên nhận xét rằng n là square free

anh có thể nói rõ hơn đc không ạ tại em chưa bt sử dụng kĩ thuật bước nhảy viete ạ

[nhungvienkimcuong]

Cho n>4 là một hợp số sao cho $n| \varphi (n)\sigma (n)+1$. Chứng minh rằng n có ít nhất ba ước nguyên tố phân biệt

Bổ đề

Không tồn tại hai số nguyên $a,b\ge 2$ thỏa mãn $ab\mid a^2+b^2-2$.

Giả sử tồn tại hai số nguyên $a,b\ge 2$ thỏa mãn $ab\mid a^2+b^2-2$. Cố định $k$ với $k=\frac{a^2+b^2-2}{ab}\in\mathbb{Z}$, đặt tập hợp

\[\mathbb{X}:=\left\{(a,b)\in \mathbb{Z}^2:a\ge b\ge 2,\ k=\frac{a^2+b^2-2}{ab}\right\}.\]

Gọi cặp $(a_0,b_0)\in \mathbb{X}$ sao cho $a_0+b_0$ nhỏ nhất, khi đó

\[k=\frac{a_0^2+b_0^2-2}{a_0b_0}\iff a_0^2-kb_0\cdot a_0+b_0^2-2=0.\]

Như vậy phương trình $X^2-kb_0X+b_0^2-2=0$ có nghiệm $a_0$, gọi nghiệm còn lại là $a_1$ thì theo hệ thức Vi-ét thu được

\[a_1+a_0=kb_0\quad \text{và}\quad a_1a_0=b_0^2-2.\]

Ta có $a_1=kb_0-a_0\in \mathbb{Z}$, ngoài ra $a_1=\frac{b_0^2-2}{a_0}>0$ nên $a_1$ là số nguyên dương. Nếu $a_1=1$ thì $1-kb_0+b_0^2-2=0$ dẫn đến $b_0\mid 1$ (vô lí), do đó $a_1\ge 2$. Bên cạnh đó thì

\[a_1=\frac{b_0^2-2}{a_0}\le \frac{b_0^2-2}{b_0}<b_0.\]

Như vậy ta xây dựng được $(b_0,a_1)\in \mathbb{X}$ mà $b_0+a_1<a_0+b_0$ nên dẫn đến mâu thuẫn.

 

Giả sử $n$ có hai ước nguyên tố là $p$ và $q$. Nếu $p^2\mid n$ thì $p\mid \varphi(n)$ dẫn đến $p\mid 1$ (vô lí), do vậy $n=pq$. Từ đây thay vào giả thiết ta có

\[pq\mid (p-1)(q-1)\cdot(p+1)(q+1)+1\iff pq\mid p^2+q^2-2.\]

Theo Theorem thu được mâu thuẫn.

 

 

Ghi chú. Một số bài toán khác cũng sử dụng bước nhảy Vi-ét ở đây và đây.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 01-01-2024 - 13:23