Chủ đề này có 6 trả lời

[Thegooobs]

Định lí

$\text{Cho}$ $f \sim g$ $\text{khi}$ $x \to 0$ $\text{và}$ $u$ $\text{là 1 VCB khi}$ $x \to a$.$\text{Khi đó}$

$$f[u(x)] \sim g[u(x)] \ \ \text{khi} \ \ x \to a$$.

 

Em thử chứng minh nhưng tới đây là bí rồi ạ.

Chứng minh:

Áp dụng mệnh đề sau:

Nếu $\displaystyle \lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x}=\ell \ne 0$ thì tồn tại một lân cận thủng $V_{\varepsilon}(a)\setminus\{a\}=(a-\varepsilon,a+\varepsilon)\setminus \{a\}$ để $f(x),g(x) \ne 0$

Ở đây, $\ell =1$ và $a=0$ 

Khi đó ta xây dựng hàm $h$ như sau:

$h(x)=\begin{cases}\dfrac{f(x)}{g(x)}, x\in V_{\varepsilon}(0)\setminus\{0\} \\ 1,x=0 \end{cases}$

Ta có: $\displaystyle \lim_{x \to 0}h(x)=\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=1=h(0)$

Suy ra $h$ liên tục tại $0$.

mà $\displaystyle \lim_{x\to a}u(x)=0$ nên ta sẽ có:

$\lim_{x\to a}h[u(x)]=h[\lim_{x \to a}u(x)]=h(0)=1$

Bây giờ em chỉ tìm cách thay $h[u(x)]$ mà không biết thay thế nào ạ.

Mong các anh chị tiếp tục bài chứng minh này hoặc chỉ một hướng khác đơn giản hơn....

Cảm ơn rất nhiều !!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thegooobs: 19-12-2023 - 23:18

[Thegooobs]

Bây giờ nếu $u(x)\ne 0$ trong 1 lân cận thủng nào đó của $0$ thì em chứng minh được. Nhưng mà 1 VCB bất kì thì không có tính chất này nên em đang nghi ngờ định lí này có gì không ổn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thegooobs: 19-12-2023 - 23:10

[nmlinh16]

Có lẽ phải có điều kiện $f(0) = g(0)$ nữa.

[Konstante]

Bạn có thể sử dụng định nghĩa $$f \sim g \iff f - g = o(g)$$ Khi đó, do $u$ liên tục và $u(x) \xrightarrow{x \to a} 0$ nên khi xét một lân cận tại $a$ của $x$ sẽ tương ứng với việc xét một lân cận tại $0$ của $u(x)$.Trong lân cận đó ta đã có $f \sim g$ theo giả thiết, do vậy $f \circ u \sim g \circ u$ trong một lân cận tại $a$ của $x$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Konstante: 20-12-2023 - 01:52

[Thegooobs]

Em mới tìm ra 1 ví dụ để thấy định lí này có vấn đề ạ lấy ví dụ là

Trong một lân cận của $0$ (ngoại trừ tại $0$) thì $\sin x \sim x$ khi $x\to 0$ và $x\sin \dfrac{1}{x}$ là 1 VCB khi $x \to 0$

Nhưng $\sin (x\sin \dfrac{1}{x})$ và $x\sin \dfrac{1}{x}$ lại không tương đương với nhau khi $x\to 0$ bởi vì $x\sin \dfrac{1}{x}$ bằng $0$ tại vô hạn điểm khi $x \to 0$ Vậy các anh,chị nghĩ sau về thêm điều kiện $u(x) \ne 0$ trong một lận cận của $0$ (ngoại trừ $0$)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thegooobs: 20-12-2023 - 12:28

[Konstante]

Mặc dù $x \sin \frac{1}{x} = 0$ tại vô số điểm trong lân cận của $0$, nhưng tại các điểm đó đều có $\sin \left( x \sin \frac{1}{x}\right) = 0$.

 

Mình nghĩ rằng vấn đề giá trị $g(0) = 0$ là một vấn đề mang tính kỹ thuật, vì nếu không thì ta chỉ cần cộng thêm một hằng số $k \neq 0$, hai hàm đang xấp xỉ nhau tự nhiên sẽ biến thành hai hàm không xấp xỉ nhau nữa: $f \sim g$ nhưng $f+k \not\sim g + k$.

 

Để tránh điều này, ta sử dụng định nghĩa $f \sim g \iff f - g = o(g)$. Viết nó lại thành $$f \sim g \iff f - g = o(g)  \iff \left| f - g \right| = o(1) \left| g \right|$$

Áp dụng cho trường hợp $f \circ u \sim g \circ u$, ta cần chứng minh $$\left| f \circ u - g \circ u \right| = o(1) \left| g \circ u \right|$$Theo lập luận epsilon-delta, với $\epsilon > 0$ tùy ý, ta cần chỉ ra luôn tồn tại $\delta > 0$ sao cho với mọi $x \in ]a - \delta, a + \delta[$ thì $$\left| f \circ u (x) - g \circ u (x) \right| \leq \epsilon \left| g \circ u (x) \right|$$

Thật vậy, vì $f \sim g$ nên luôn tồn tại $\delta_1 > 0$ sao cho với mọi $x \in ]-\delta_1, \delta_1[$ thì $$\left| f(x) - g(x) \right| \leq \epsilon \left| g(x)\right|$$

Do $u$ liên tục và $u(x) \xrightarrow{x \to a} 0$, nên luôn tồn tại $\delta_2 > 0$ sao cho với mọi $x \in ]a - \delta_2, a+ \delta_2[$ thì $$u(x) \in ]-\delta_1, \delta_1[$$Đến đây ta chỉ cần chọn $\delta = \delta_2$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Konstante: 20-12-2023 - 19:59

[Thegooobs]

@Konstante Cảm ơn anh nhưng anh xài mấy cái định nghĩa hơi lạ chắc cần nhiều thời gian để hiểu hết bài chứng minh của anh !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thegooobs: 20-12-2023 - 20:21