SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9
THANH HÓA NĂM HỌC 2023 - 2024
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN
Thời gian: 150 phút
Ngày thi: 21/12/2023
Bài 1. a) Cho biểu thức $A=\left ( 2-\frac{2\sqrt{xy}+1}{1+\sqrt{xy}}+\frac{1}{1-\sqrt{xy}}+\frac{2\sqrt{x}}{1-xy} \right ):\left ( \frac{\sqrt{xy}-\sqrt{x}}{\sqrt{xy}+1}-\frac{\sqrt{xy}+\sqrt{x}}{\sqrt{xy}-1} \right )$
Với x, y > 0; xy ¹ 1. Rút gọn biểu thức A.
b) Cho số thực a thỏa mãn $a^{3}-a-1=0$.
Tính giá trị của biểu thức $B=a\sqrt{2a^{6}-4a^{4}+4a^{2}+3a}-\sqrt{2a^{2}+3a+2}$
Bài 2. a) Giải phương trình $\sqrt[3]{x^{3}+5x^{2}}-1=\sqrt{\frac{5x^{2}-2}{6}}$
b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^{2}y^{2}+3x+3y-3=0 & \\ x^{3}y-4x^{2}y-3xy^{2}+2xy-x^{2}+x=0 & \end{matrix}\right.$
Bài 3. a) Giải phương trình nghiệm nguyên $y=\sqrt[3]{2+\sqrt{x}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{x}}$
b) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn $3^{n}-1$ chia hết cho $2^{2024}$.
Chứng minh rằng $n\geq 2^{2022}$
Bài 4. Cho tam giác đều ABC có độ dài cạnh bằng $2\sqrt{3}$ và đường cao AH. Trên đoạn BH lấy điểm M tùy ý (M khác B, H). Gọi P, Q lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC.
1) Chứng minh rằng giá trị của biểu thức $MP+MQ$ không phụ thuộc vào vị trí điểm M.
2) Gọi K là trung điểm của AM.
a) Chứng minh rằng tứ giác PKQH là hình thoi.
b) Gọi S là diện tích của hình thoi PKQH. Biết khi điểm M thay đổi thì S nhận đúng một giá trị nguyên dương. Tìm giá trị nguyên dương đó.
3) Vẽ đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABM. Gọi D, E, F theo thứ tự là tiếp điểm của đường tròn (O) với các cạnh BM, AB, AM. Kẻ DN vuông góc với EF tại N. Chứng minh rằng $\widehat{BNE}=\widehat{MNF}$.
Bài 5. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn $a+b+c=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\frac{a+b+1}{a^{3}+b^{3}+1}+\frac{b+c+1}{b^{3}+c^{3}+1}+\frac{c+a+1}{c^{3}+a^{3}+1}$
--- Hết ---
.
