Chủ đề này có 2 trả lời

[nhutduy27]

Cho ba số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z\geq \frac{1}{4}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$.

Tìm GTLN của biểu thức $P(x,y,z)=\frac{1}{(2x+y+z)^{2}}+\frac{1}{(x+2y+z)^{2}}+\frac{1}{(x+y+2z)^{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhutduy27: 25-12-2023 - 21:19

[mydreamisyou]

Lời giải

Cho ba số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z\geq \frac{1}{4}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$.

Tìm GTLN của biểu thức $P(x,y,z)=\frac{1}{(2x+y+z)^{2}}+\frac{1}{(x+2y+z)^{2}}+\frac{1}{(x+y+2z)^{2}}$

Ta có: $P(x,y,z)=\sum \frac{1}{[(x+y)+(x+z)]^{2}}$

Theo bđt AM-GM thì $(x+y)+(y+z) \ge 2 \sqrt{(x+y)(x+z)}$. Thiết lập các bđt tương tự, ta được:

$P \le \frac{x+y+z}{2(x+y)(y+z)(z+x)}$. Chú ý: $(x+y)(y+z)(z+x) \ge \frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+zx)$

Như vậy $P \le \frac{9}{16(xy+yz+zx)}$. Từ GT, ta được $4xyz(x+y+z) \ge xy+yz+zx$. Mà $(xy+yz+zx)^2 \ge 3(x+y+z)xyz$. 

Do đó: $xy+yz+zx \ge \frac{3}{4}$. Như vậy $P \le \frac{3}{4}$. Đẳng thức xảy ra $\iff x=y=z=\frac{1}{2}$.

P/S: Mình mới tham gia diễn đàn nên chưa quen gõ Latex!!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 26-12-2023 - 22:26
LaTeX

[perfectstrong]

Mình đã sửa lại cho bạn, nhưng bạn nhớ để ý nhé.

 

Ta có: $P(x,y,z)=\sum \frac{1}{[(x+y)+(x+z)]^{2}}$

Theo bđt AM-GM thì $(x+y)+(y+z) \ge 2 \sqrt{(x+y)(x+z)}$. Thiết lập các bđt tương tự, ta được:

$P \le \frac{x+y+z}{2(x+y)(y+z)(z+x)}$. Chú ý: $(x+y)(y+z)(z+x) \ge \frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+zx)$

Như vậy $P \le \frac{9}{16(xy+yz+zx)}$. Từ GT, ta được $4xyz(x+y+z) \ge xy+yz+zx$. Mà $(xy+yz+zx)^2 \ge 3(x+y+z)xyz$. 

Do đó: $xy+yz+zx \ge \frac{3}{4}$. Như vậy $P \le \frac{3}{4}$. Đẳng thức xảy ra $\iff x=y=z=\frac{1}{2}$.

P/S: Mình mới tham gia diễn đàn nên chưa quen gõ Latex!!!

Khi gõ latex, bạn hãy gộp vào chung một cặp dấu $. Đừng gõ:

$\iff$ $x$=$y$=$z$= $\frac{1}{2}$

Mà hãy gõ

$\iff x=y=z=\frac{1}{2}$