Chủ đề này có 2 trả lời

[minhquang47]

Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} x^{2}, x \in \mathbb{Q}\\ 0, x \in \mathbb{R} / \mathbb{Q} \end{cases}$
CMR $f(x)$ không liên tục tại mọi điểm $x \neq 0$

[bangbang1412]

Gọi $a \in \mathbb{R} \setminus \left \{0 \right \}$ thì ta cần chứng minh $f$ không liên tục tại $a$. Lưu ý rằng liên tục và liên tục dãy là đồng nghĩa trên $\mathbb{R}$.

• Nếu $a$ vô tỷ, ta lấy một dãy số hữu tỷ $(a_n)_{n\in \mathbb{N}}$ hội tụ về $a$, $\lim a_n = a$. Khi đó $\lim f(a_n) = \lim a_n^2 = a^2$ trong khi $ f(\lim a_n) = f(a) = 0$ và do $a$ khác $0$ nên $f$ không liên tục tại $a$.
• Nếu $a$ hữu tỷ, ta lấy một dãy số vô tỷ $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ hội tụ về $a$, $\lim a_n = a$. Khi đó $\lim f(a_n) = \lim 0 = 0$ trong khi $f(\lim a_n) =f(a) = a^2$ và do $a$ khác $0$ nên $f$ không liên tục tại $a$.

Nếu bạn có thắc mắc về việc tại sao ta chọn được một dãy số vô tỷ trong trường hợp thứ hai thì ta dựa vào trường hợp thứ nhất: lấy một dãy $b_n$ hữu tỷ hội tụ về $a$ (ở đây $a$ hữu tỷ thì có thể chọn $b_n = a$ với mọi $n$, nhưng lập luận này đúng với cả $a$ vô tỷ) và với mỗi $n \in \mathbb{N}^{\times}$ ta chọn một số vô tỷ $c_n$ trong đoạn $(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n})$, khi đó $\lim (b_n - c_n) = \lim b_n - \lim c_n = a - 0 = a$.

 

Ngoài ra thì $f$ liên tục tại $0$, thật vậy với mỗi $\epsilon > 0$ bé tùy ý, ta chọn $\delta = \sqrt{\epsilon}$, khi đó $\left |f(x) \right| < \epsilon$ với mọi $\left |x \right| < \delta$ và $f$ liên tục tại $0$ theo định nghĩa.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 27-12-2023 - 03:29

[Konstante]

Ta có thể chứng minh bài toán bằng cách sử dụng định nghĩa topo của hàm liên tục. Ý tường như sau.

 

Xét một điểm $x \in \mathbb{R}$ mà $f$ liên tục tại $x$, đặt $y = f(x)$. Xét một lân cận $\varepsilon_y \neq \lbrace y \rbrace$ của $y$, khi đó $f^{-1}(\varepsilon_y)$ cũng phải là một lân cận của $x$ (định nghĩa topo của liên tục). Hơn nữa $\varepsilon_y \neq \lbrace y \rbrace$ nên $f^{-1}(\varepsilon_y) \neq \lbrace x \rbrace$, kéo theo lân cận đó của $x$ phải chứa một số vô tỷ $s$ nào đó. Mà $0 = f(s) \in \varepsilon_y$, điều này dẫn đến $y = 0$ (vì nếu không thì sẽ luôn có một lân cận của $y$ không chứa $0$). Lập luận tương tự, ta cũng thu được $x^2 \in \varepsilon_y$.

Tóm lại, tại mọi điểm $x$ mà $f$ liên tục thì ta luôn có $f(x) = 0 = x^2$ , nói cách khác $f$ chỉ liên tục tại $x=0$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Konstante: 27-12-2023 - 21:11