Chủ đề này có 1 trả lời

[HuyCubing]

Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho tồn tại các số nguyên dương $x$, $y$, $n$ thoả mãn $$p^n=x^5+y^5.$$

[bangbang1412]

Trước hết ta xét trường hợp $p$ lẻ, nếu một trong hai số $x,y$ là bội của $p$ thì số còn lại cũng là bội của $p$. Ta có thể rút luỹ thừa cao nhất của $p$ trong phân tích nguyên tố của $x,y$ ra và giản ước cho tới khi cả hai số không có số nào là bội của $p$ nữa (xem trường hợp $p=2$ bên dưới). Giả sử $p \not\mid x, p \not\mid y$, khi đó theo bổ đề LTE thì

$$\nu_p(x^5+y^5) = \nu_p(x+y) + \nu_p(5)$$

và do đó nếu $p \neq 5$ thì $x^5+y^5=x+y$ suy ra vô lý. Vậy trong trường hợp $p$ lẻ thì $p=5$ và từ đẳng thức trên ta suy ra $x+y=5^{n-1}$. Nói cách khác, $x^5+y^5=5(x+y)$. Tuy nhiên theo bất đẳng thức Holder thì $16(x^5+y^5) \geq 16(x+y)^5$ nên $(x+y)^4 \leq 80$ và $x+y=2$ nhưng trường hợp này mâu thuẫn giả thiết hiện tại.

 

Như vậy chỉ còn trường hợp $p=2$ là có thể có nghiệm. Ta thấy $x,y$ cùng tính chẵn lẻ. Nếu $x,y$ cùng chẵn ta đặt $x=2^a b$ và $y=2^c d$ với $a,c \geq 1$ nguyên dương và $b,c$ nguyên dương lẻ. Không giảm tổng quát giả sử $a \geq c$, khi đó từ giả thiết ta có

$$2^n = 2^{5c}(2^{5a-5c}b^5 + d^5).$$

Từ đây nếu $n > 5c$ thì $a=c$ bằng cách xét tính chẵn lẽ. Còn nếu $n = 5c$ thì $1 = 2^{5a-5c}b+d$ nên suy ra vô lý vì $b,d$ nguyên dương. Trường hợp đầu tiên ta quy về

$$2^{n-5c} = b^5+d^5$$

với $b,d$ lẻ. Từ chứng minh trên ta có thể giả sử $x,y$ cùng lẻ từ đầu. Khi đó lại theo bổ đề LTE ta có $\nu_2(x^5+y^5)=\nu_2(x+y)$ (ở đây cần thiết $x,y$ cùng lẻ) và do đó $x=y=1$.

 

Dưới đây là một chứng minh thủ công cho bước cuối, ban đầu mình không để ý bước cuối ta cũng dùng LTE được. Đặt $x+y=2^m$ với $1 \leq m < n$. Từ các bất đẳng thức

$$(x+y)^5 > x^5 + y^5 \geq \frac{1}{16}(x+y)^5$$

ta suy ra

$$2^{5m} > 2^n \geq 2^{5m-4}$$

nên $n \in \left \{5m-1,5m-2,5m-3,5m-4 \right \}$ và ta sẽ giải từng trường hợp. Trường hợp $n = 5m-4$ tầm thường vì dấu bằng xảy ra tức là $x=y=2^{m-1}$; và để thoả mãn giả thiết $x,y$ cùng lẻ thì ta phải có $m=1$ và $x=y=1$. Như vậy chỉ còn ba trường hợp, bắt đầu với $n=5m-1$ hay

$$2(x^5+y^5) = (x+y)^5.$$

Bằng cách thế $y= 2^m - x$ và khai triển và rút gọn hai vế ta thu được

$$2^{4m} - 5.2^{3m} x +  10. 2^{2m}x^2 - 10.2^m x^3 + 5x^4 = 0.$$

Điều này không thể xảy ra do mâu thuẫn tính chẵn lẻ. Hai trường hợp $n=5m-2$ và $n=5m-3$ đều chứng minh tương tự.

 

Như vậy toàn bộ nghiệm có thể là $(p,n,x,y)=(2,5a+1,2^a,2^a)$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 06-01-2024 - 16:11