Đề thi học sinh giỏi quốc gia năm 2024
Thời gian: 180 phút
Ngày thi thứ nhất: 05/01/2024
Câu 1 (5 điểm)
Với mỗi số thực $x$, ta gọi $\left [ x \right ]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$.
Cho dãy số $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ xác định bởi: $a_n=\frac{1}{4^{\left [ -\log_4n \right ]}},\forall n\ge 1$. Đặt $b_n=\frac{1}{n^2}\left ( \sum_{k=1}^na_k-\frac{1}{a_1+a_2} \right ),\forall n\ge 1$.
a) Tìm một đa thức $P(x)$ với hệ số thực sao cho $b_n=P\left ( \frac{a_n}{n} \right ),\forall n\ge 1$.
b) Chứng minh rằng tồn tại một dãy số nguyên dương $\{n_k\}_{k=1}^{\infty}$ tăng thực sự sao cho $\lim_{k\to \infty}b_{n_k}=\frac{2024}{2025}.$
Câu 2 (5 điểm)
Tìm tất cả các đa thức $P(x),\ Q(x)$ với hệ số thực sao cho với mỗi số thực $a$ thì $P(a)$ là nghiệm của phương trình: $$x^{2023}+Q(a) x^2+(a^{2024}+a)x+a^3+2025a=0.$$
Câu 3 (5 điểm)
Cho $ABC$ là tam giác nhọn với tâm đường tròn ngoại tiếp $O$. Gọi $A'$ là tâm của đường tròn đi qua $C$ và tiếp xúc với $AB$ tại $A$, gọi $B'$ là tâm của đường tròn đi qua $A$ và tiếp xúc với $BC$ tại $B$, gọi $C'$ là tâm của đường tròn đi qua $B$ và tiếp xúc với $CA$ tại $C$.
a) Chứng minh rằng diện tích tam giác $A'B'C'$ lớn hơn hoặc bằng diện tích tam giác $ABC$.
b) Gọi $X,Y,Z$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $O$ lên các đường thẳng $A'B',B'C',C'A'$. Biết rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $XYZ$ lần lượt cắt lại các đường thẳng $A'B',B'C',C'A'$ tại các điểm $X',Y',Z'(X'\neq X, Y'\neq Y, Z'\neq Z)$. Chứng minh rằng các đường thẳng $AX',BY',CZ'$ đồng quy.
Câu 4 (5 điểm)
Người ta xếp $k$ viên bi vào các ô của một bảng $2024\times 2024$ ô vuông sao cho hai điều kiện sau được thỏa mãn: mỗi ô không có quá một viên bi và không có hai viên bi nào được xếp ở hai ô kề nhau (hai ô được gọi là kề nhau nếu chúng có chung một cạnh).
a) Cho $k=2024$. Hãy chỉ ra một cách xếp thỏa mãn cả hai điều kiện trên mà khi chuyển bất kì viên bi đã được xếp nào sang một ô tùy ý kề với nó thì cách xếp mới không còn thỏa mãn cả hai điều kiện nêu trên.
b) Tìm giá trị $k$ lớn nhất sao cho với mọi cách xếp $k$ viên bi thỏa mãn hai điều kiện trên ta có thể chuyển một trong số các viên bi đã được xếp sang một ô kề với nó mà cách xếp mới vẫn không có hai viên bi nào được xếp ở hai ô kề nhau.
Ngày thi thứ hai: 06/01/2024
Câu 5 (6 điểm)
Với mỗi đa thức $P(x)$, ta đặt
$$\begin{array}{l} P_1(x)=P(x),\ \forall x\in \mathbb{R};\\ P_2(x)=P(P_1(x)),\ \forall x\in \mathbb{R};\\ \quad\quad\quad \dots\\ P_{2024}(x)=P(P_{2023}(x)),\ \forall x\in \mathbb{R}. \end{array}$$
Cho $a$ là số thực lớn hơn $2$. Tồn tại hay không một đa thức $P(x)$ với hệ số thực thỏa mãn điều kiện: với mỗi $t\in(-a;a)$, phương trình $P_{2024}(x)=t$ có đúng $2^{2024}$ nghiệm thực phân biệt?
Câu 6 (7 điểm)
Với mỗi số nguyên dương $n$, gọi $\tau(n)$ là số các ước nguyên dương của $n$.
a) Giải phương trình nghiệm nguyên dương $\tau(n)+2023=n$ với $n$ là ẩn số.
b) Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương $k$ sao cho có đúng hai số nguyên dương $n$ thỏa mãn phương trình $\tau(kn)+2023=n$.
Câu 7 (7 điểm)
Trong không gian, cho đa diện lồi $D$ sao cho tại mỗi đỉnh của $D$ có đúng một số chẵn các cạnh chứa đỉnh đó. Chọn ra một mặt $F$ của $D$. Giả sử ta gán cho mỗi cạnh của $D$ một số nguyên dương sao cho điều kiện sau được thỏa mãn: với mỗi mặt (khác mặt $F$) của $D$, tổng các số được gắn với các cạnh của mặt đó là một số nguyên dương chia hết cho $2024$. Chứng minh rằng tổng các số được gán với các cạnh của mặt $F$ cũng là một số nguyên dương chia hết cho $2024$.
Nguồn: VnExpress (ngày 1, ngày 2)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 06-01-2024 - 16:39
