Chủ đề này có 1 trả lời

[hovutenha]

Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa mãn: $x^2 +y^2 +z^2 =3$. Chứng minh rằng:

$$\frac{2xy+3}{x^2 +xy + y^2} + \frac{2yz+3}{y^2 +yz + z^2}+ \frac{2zx+3}{z^2 +zx + x^2} \geq 5 $$

[Duc3290]

Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa mãn: $x^2 +y^2 +z^2 =3$. Chứng minh rằng:

$$\frac{2xy+3}{x^2 +xy + y^2} + \frac{2yz+3}{y^2 +yz + z^2}+ \frac{2zx+3}{z^2 +zx + x^2} \geq 5 $$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương

$$\sum \frac{2xy+x^2+y^2+z^2}{x^2+xy+y^2}\geq 5$$

$$\leftrightarrow \sum \frac{z^2+(x+y)^2}{x^2+xy+y^2}\geq 5$$

Nếu trong $x,y,z$ có một số bằng không, dễ dàng chứng minh được bất đẳng thức.

Nếu $x,y,z>0$:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

$$\sum(\frac{z^2}{x^2+xy+y^2}+\frac{z^2}{z^2+zx+zy})\geq \sum \frac{4z^2}{\sum x^2+\sum xy}$$

$$\leftrightarrow \sum \frac{z^2}{x^2+xy+y^2}+\sum \frac{z}{z+x+y}\geq \frac{4\sum x^2}{\sum x^2+\sum xy}$$

$$\leftrightarrow \sum \frac{z^2}{x^2+xy+y^2}\geq \frac{4\sum x^2}{\sum x^2+\sum xy}-1(1)$$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

$$\sum (\frac{(x+y)^2}{x^2+xy+y^2}+\frac{(2z)^2}{z^2+zx+zy})\geq \sum \frac{(x+y+2z)^2}{\sum x^2+\sum xy}$$

$$\leftrightarrow \sum \frac{(x+y)^2}{x^2+xy+y^2}\geq \sum \frac{(x+y+2z)^2}{\sum x^2+\sum xy} -4(2)$$

Từ (1) và (2) ta có:

$$\sum \frac{z^2+(x+y)^2}{x^2+xy+y^2}\geq \frac{4\sum x^2+\sum (2x+y+z)^2}{\sum x^2+\sum xy}-5$$

$$\leftrightarrow \sum \frac{z^2+(x+y)^2}{x^2+xy+y^2}\geq 5$$

hay ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$